巧用運算律

朱亞邦

有理數的加法和乘法的運算律是很重要的運算方法,它在很多有理數運算中起到簡化運算的作用,使解題思路變得簡捷,對培養同學們的思維能力和創新能力都有著獨特的作用.本文介紹如何巧妙運用這些運算律解題.

一?加法結合律:(a + b) + c = a + (b + c)

例1 計算:(239.78 + 71.23) + 28.77.

先從小括號內算起顯然比較麻煩,若先把71.23與28.77結合起來,相加后結果為整數,然后再和第一個數相加,這樣就簡便多了.

解:原式=239.78 + (71.23 + 28.77)

=239.78 + 100

= 339.78.

二?乘法交換律:ab=ba.

例2 計算:420 × 9 × .

因為420 × 可以約分化簡,所以應在運算中交換9和的位置.

解:原式= 420 ×× 9 = 60 × 9 = 540.

三?乘法結合律:(ab)c=a(bc)

例3 計算:[25 × (-0.125)] × (-8)

因為(-0.125) × (-8) = 1,所以先把后兩個數相乘,再和第一個數相乘,這樣更簡單.

解:原式= 25 × [(-0.125) × (-8)] = 25 × 1 = 25.

四?乘法分配律:a(b + c) = ab + ac.

例4 計算:8 ×+×-+ .

8與第一個括號內的分數相乘仍會得分數,若8與第二個括號內的分數相乘,結果為整數,因此可先把8與第二個括號內各數相乘.

解:原式=8 ×-+×+

=(5 - 2 + 4) ×+

=7 ×+

=1 +

=2.

五?逆用分配律:ab + ac = a(b + c).

1. 直接逆用分配律.

例5 計算:66 × 176 - 66 × 34 - 66 × 42.

按一般計算規則,要先進行3次乘法運算,再進行2次減法運算,共需進行5次運算.注意到式子中有共同因數66,因此,應將分配律反過來應用.

解:原式=66 × (176 - 34 - 42) = 66 × 100 = 6 600.

2. 拆數后逐步逆用分配律.

例6 計算:99 × 99 × 199.

直接計算將會很繁,我們可以把199變成99+100,這樣就可以逆用分配律進行計算.

解:原式=99 ×99 + 99 + 100

=99 × (99 + 1) + 100

=99 × 100 + 100

=100 × (99 + 1)

=100 × 100

=10 000.

3. 變形后逆用分配律.

例7 計算:13 + 6 ÷ 2 + 1.

先把帶分數化成假分數,即將原式變成 + ÷ + ,逆用分配律將前后兩個括號內的公因數提取后再計算.

解:原式= +÷+

=125 ×+÷ 25 ×+

=125 ÷ 5

= 25.

六?拆數后應用分配律.

例8 計算:25 ×- 11 ×.

這道題若直接進行計算比較麻煩,但我們發現,24與25相差1,11與12也相差1,因此可以把25拆成24 + 1,把11拆成12-1,這樣可以運用分配律,便于約分化簡.

解:原式=(24 + 1) ×- (12 - 1) ×

=23 +- 11 +

=13.

七?添數后應用分配律.

例9 計算 ++++ .

此題可以按常規方法通分進行計算,但這樣做比較復雜,我們可以取各分母的最小公倍數60來乘各個數,所得結果再除以60即可.

解:原式=++++ × 60 ÷ 60

=(20 + 10 + 6 + 5 + 4) ÷ 60

=.

八?引申后應用分配律.

例10 計算:÷+++++ +++ + ÷ .

因為前后兩部分互為倒數,所以我們只需計算出后半部分的結果即可.

解: ++++÷

= ++++× 60 = 45.

故 ÷++++= .

原式 = + 45 = 45.

九?分配律正?逆同用.

例11 計算:

- +-× 12 ×- 3 × 1 + 4 × 1.

12 ×-3 × 1 + 4 × 1可變形為12 ×-12 ×+ 12 × ,我們發現,可以逆用分配律,得12 ×-+ = 12,然后再用12乘前面括號內各數,正用分配律.

解:原式=- +-× 12 ×- 12 ×+ 12 ×

=- +-× 12 ×-+

=- +-× 12

=-5 + 2 - 9 = -12.

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