“三視圖”類型題例析

劉書妹

“三視圖”是指物體的主視圖?左視圖和俯視圖和即分別從正面?左面及上面三個不同方向觀察同一物體時,所看到的圖形. 有關三視圖的題目往往具有一定的難度,但如果能把握三視圖的實質及一些解題技巧,則能化難為易,下面就有關三視圖的問題歸類分析.

一?會畫簡單立方體組合體的三視圖

點撥:畫“三視圖”的關鍵是能從正確的方向觀察物體,如畫主視圖,應從正面觀察物體,眼睛應與所觀察物體的正面正對,而多數學生習慣從正上方觀察,這樣觀察到的圖形肯定不準確. 有關三視圖所反映幾何體的情況如表1(行?列?層可參看圖1):

表1

例1 圖1中的幾何體是由7個同樣大小的立方體擺成的,畫出它的主視圖?俯視圖和左視圖.

解析:觀察幾何體,從左向右有3列,每列的最大層數分別為2?1?3;從后向前有2行,每行的最大層數分別為2?3;第一層中有2行3列,從后向前每行分別有1個和3個立方體,或從左向右每列立方體的個數是2?1?1. 因此可畫三種視圖,如圖2.

二?通過俯視圖畫主視圖?左視圖

點撥:可直接根據俯視圖確定行?列情況,根據俯視圖中所標的數字確定每個具體位置(某行?某列)的層數.

例2 圖3是由若干個同樣大小的立方體所搭幾何體的俯視圖,小正方形中的數字表示在該位置立方體的個數,請畫出這個幾何體的主視圖和左視圖.

解析:由俯視圖可知,該幾何體有3列,從左向右每列的最大層數分別為3?4?2;有2行,從后向前每行的最大層數分別為4?2.因此可畫出圖4所示的主視圖?左視圖.

三?由“三視圖”推斷立體圖形

點撥:解決此類問題可通過“在俯視圖上標數字”(俯視圖上每個位置的數字代表該位置單位幾何體的個數)的方法解決.

例3 由若干個同樣大小的立方體搭一個幾何體,使得它的主視圖和俯視圖如圖5,若組成這個幾何體的小立方體的塊數為n,請寫出n的所有可能性.

解析: 由主視圖可知,從左向右,每列的最大層數分別為1?2?3,則組成這個幾何體的立方體個數最多與最少的情況如圖6.

因此,n的最大值為11,最小值為8,n的所有可能性為8?9?10?11.

例4 一張桌子上擺放著若干個碟子,從三個方向看,“三視圖”如圖7,則這張桌子上共有幾個碟子?

解析:此題可以通過“在俯視圖上標數字”的方法解決,也可以直接判斷.由主視圖?俯視圖可知,從左向右第2列有3個碟子,再由左視圖?俯視圖可知從后向前第2行有5個碟子,第1列?第1行的位置有4個碟子,因此共有12個碟子.

四?通過“三視圖”求立體圖形的表面積

點撥:主視圖?左視圖和俯視圖的面積分別代表了立體圖形正面?左面和上面的表面積,由于立體圖形前后?左右?上下的表面積分別相同,因此立體圖形的表面為:主視圖?左視圖和俯視圖面積和的2倍.

例5 一個物體是由棱長為1的正方體模型堆砌而成的,其“三視圖”如圖8.請回答下列問題.

(1)該物體共有幾層?

(2)該物體的體積是多少?

(3)該物體的表面積是多少?

解析:(1)由主視圖?左視圖可知,該物體共有2層.

(2)要求該物體的體積,需知道組成該物體的正方體的個數. 可通過“在俯視圖上標數字”的方法求得正方體的個數,由主視圖?左視圖可在俯視圖上標數字,如圖9.因此組成該物體的正方體的個數為7,該物體的體積為:7 × 1 × 1 × 1 = 7.

(3)據“三視圖”可得該物體的表面積為:(4 + 3 + 6)×1×1×2 = 26.

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