有理數的乘除法考點例析

閔　軼

:有理數的混合運算

考點說明:中考要求同學們掌握有理數的加減乘除混合運算,但并不是刻意“求難求繁”.有理數的混合運算的基礎是有理數的加減乘除運算法則,掌握混合運算的運算順序是解決問題的前提條件.

1. 有理數的加法法則:同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加;絕對值不等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反數的兩個數相加得0;一個數與0相加,仍得這個數.

2. 有理數的減法法則:減去一個數,等于加上這個數的相反數.

3. 有理數的乘法法則:兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘,任何數與0相乘都得0.

4. 有理數的除法法則:除以一個不等于0的數,等于乘以這個數的倒數;兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除;0除以任何一個不等于0的數都得0.

5. 有理數的加減乘除混合運算的順序:先乘除,后加減,如果有括號,一般先進行括號中的運算.

例1 計算:

- × - + - ÷÷ (-2).

解:原式= + - ÷ (-2)

=0.

有括號的混合運算一般優先進行括號中的運算.在進行乘法運算和除法運算時都應先確定符號,再確定數值.

:倒數

考點說明:乘積為1的兩個數互為倒數,即若a?b互為倒數,則ab=1.倒數是比較基礎的知識,求一個有理數的倒數是中考中的一個重要考點.

例2 倒數是其本身的數是.

解:填±1.

求倒數要掌握倒數的概念.

:有理數的運算律

考點說明:掌握有理數的運算律可以使計算簡化,能選擇適當的運算律進行計算是大家必須具備的能力.

1.有理數的加法運算律.

交換律:a + b = b + a.

結合律:(a + b) + c = a + (b + c).

2.有理數的乘法運算律.

交換律:ab = ba.

結合律:(ab)c = a(bc).

分配律:a(b + c) = ab + ac.

例3 計算:(-84) ÷ 2 × (-3) ÷ (-6).

解:原式=[(-84)÷2] × (-3) × -

=(-42) ×

=-21.

除法是乘法的逆運算,乘除運算可以轉化為單純的乘法運算,因此可以將前兩項(-84與2)?后兩項(-3與-6)分別結合起來進行運算,達到簡化計算的目的.

:運用有理數的乘除法解決實際問題

考點說明:運用有理數的乘除法可以解決生活中的實際問題,這也是我們學習這部分知識的目的.

例4 一天,小明和小華利用溫差測量山峰的高度,小明在山頂測得溫度是-1 ℃,此時小華在山腳測得溫度是5 ℃.已知該地區高度每增加100 m,氣溫就下降0.8 ℃,那么這個山峰的高度大約是多少?

解:[5 - (-1)] ÷ 0.8 × 100

=6 ÷ 0.8 × 100

=750(m).

答:這個山峰的高度大約是750 m.

題目中的條件“該地區高度每增加100 m,氣溫就下降0.8 ℃”是解題的關鍵,根據這句話,我們只需知道山腳與山頂的溫度差中有幾個0.8 ℃,就可得到從山腳到山頂有多少個100 m,從而求得山峰的大致高度.這是典型的運用有理數乘除法來解決實際問題的例子.

:對含有較大數字的信息進行合理的解釋和推斷

考點說明:有理數的乘法運算有時會帶來一些有規律的數據,我們要掌握這些規律,并能對所得到的結論加以分析和判斷.當然,處理較大數字的時候經常要借助計算器.

例5 按照下面的步驟做一做:

(1)任選1?2?3?4?5?6?7?8?9中的一個數字;

(2)將這個數字乘以9;

(3)將上面的結果乘以123 456 789.

多選幾個數字試一試,你發現了什么規律?

解:若選5,則5 × 9 × 123 456 789 = 5 555 555 505;

若選7,則7 × 9 × 123 456 789 = 7 777 777 707;

……

所以,如果選擇數字a(1≤a≤9,且a為整數),最后得到的數除了十位上的數字是0外,其他數字都是a.

這個規律很有趣,實際上,因為9×123 456 789= 1 111 111 101,所以你選取一個符合要求的數字,最后都會出現上面所說的規律.

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