例談幾何中最值問題求解策略

謝青青

按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)的元素，在一定的范圍內(nèi)變化，與它有關(guān)的某個(gè)量也隨之變化，有時(shí)這個(gè)變化的量存在最大或最小值，這種問題便是幾何中的最值問題.幾何中的最值問題在近年廣泛出現(xiàn)在中考和競(jìng)賽試題中．這類問題具有很強(qiáng)的探索性（目標(biāo)不明確），解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合理想象相結(jié)合等思想方法.在此對(duì)這類問題常用解題策略解析如下.

1.幾何法（對(duì)稱法）——利用幾何中的不等量的性質(zhì)定理，如“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”等求得最值.

例1如圖1，矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 ｃｍ，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使得MB+MN的值最小，求這個(gè)最小值.

分析：要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法將折線BM+MN拉直，不妨從作出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)入手.

解：如圖2，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交DC于P，則N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為AB′上N′點(diǎn)，這時(shí)B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH，即BM+MN的最小值為BH.