期末復習專題講解——思想方法

數學思想貫穿于數學學習的全過程，只有掌握了數學思想，才能使數學更易于理解和記憶，才能真正學好新知識，將知識轉化為能力. 在七年級上學期的學習內容中，就蘊涵著豐富的數學思想.現舉例說明如下.

1. 歸納思想

歸納就是從特殊的、個別的事例推出一般規律，歸納的過程就是創新的過程.這種思想方法常用于探索規律型問題.

例1觀察下列式子，探索其規律并填空.

1=（-1）2 × 1；1-3=（-1）3 × 2；1-3+5=（-1）4 × 3；1-3+5-7=（-1）5× 4……

請你計算：1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=

.

觀察上面幾個式子，我們發現，等式左邊都是奇數，符號“+”、“-”輪流出現；右邊為兩數的積，其中第一個因數是－1的乘方的形式，其指數比左邊的項數大1，第二個因數就是左邊的項數. 因而1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=（-1）n+1 × n.

解：填（-1）n+1 × n.

探究規律型問題是創新思維的重要體現，要求我們從幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、歸納出一般的規律和性質.反過來，運用一般的規律和性質又可以驗證特殊的問題，這是數學中經常使用的方法.

2. 分類討論思想

當被研究的問題包含多種情況，不能一概而論時，必須按照可能出現的所有情況分別加以討論，得出各種情況下相應的結論，這種處理問題的方法為分類討論思想.

例2已知線段AB=4.8cm，C是線段AB的中點，D 是線段BC的中點，點E在線段AB上，且CE=AC，畫圖并計算線段DE的長.

畫圖時，根據點E在線段AB上可知，它既可能在點C的左側，又可能在點C的右側.

解：（1）如圖1，當點E在點C的左側時，因為AB=4.8cm，C是線段AB的中點，所以AC=BC=AB=2.4cm.因為D 是線段BC的中點，所以CD=BC=1.2cm.又因為CE=AC，所以CE=0.8cm. 所以DE=CD+CE=1.2+0.8=2（cm）.

（2）如圖2，當點E在點C右側時，根據上面的過程可知， DE=CD-CE=1.2-0.8=0.4（cm）.

若題中沒有給出圖形，且圖中某些元素位置關系不明確，往往要分類討論，以免因考慮不周而造成漏解. 分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類都要按照同一標準進行；（2）不重復，不遺漏.

3. 用字母表示數的思想

用字母表示數是代數的一個重要特點，也是數學中重要的思想方法. 用字母表示數，既能高度概括數學問題的本質規律，又能使數學問題的表達變得簡單明了，從而給計算和研究帶來方便.

例3計算：（++…+）（1++…+）-（1++…+）（++…+）.

這道題直接進行計算很麻煩，通過觀察可以發現，四個括號內的分數和具有一定的聯系. 若把括號內的分數和用字母表示，則可把數的運算變成式的運算.

解：設1++…+=a，++…+=b，則a-b=1.

原式=（b+）a-（a+）b==.

用字母代換復雜的式子，把繁雜的數字計算問題轉化為簡單的整式運算問題，簡化了解題過程，從而達到了化繁為簡、化難為易的效果.

4. 數形結合思想

所謂數形結合思想就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既弄清其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和圖形巧妙地結合起來，并充分利用這種結合尋求解題思路.

例4如圖3，M、N、P、R分別是數軸上四個整數所對應的點，其中有一點是原點，并且MN=NP=PR=1.與數a對應的點在M點與N點之間，與數b對應的點在P點與R點之間.若|a|+|b|=3，則原點可能是（）.

A． M點或R點B． N點或P點

C． M點或N點D． P點或R點

若原點為M點，由題意知0 < a < 1，2 < b < 3，故有可能使|a|+|b|=3.若原點為N點，由題意知-1 < a < 0，1 < b < 2，故不可能使|a|+|b|=3. 同理可知，R點可能是原點，P點不可能為原點.

解：選A.

這里我們運用數形結合思想，先假設某種情況正確，經過推理對結論進行判斷，當然我們也可以利用特殊值來驗證.

5. 轉化思想

轉化思想就是將所要解決的問題轉化為一個較易解決或已經解決的問題.具體來說，就是把新知識轉化為舊知識，把未知轉化為已知，把復雜的問題轉化為簡單的問題. 它是初中數學中最重要、最常見的思想方法.

例5對于任意兩個有理數對（a，b）和（c，d），我們規定：當a=c，b=d時，有（a，b）=（c，d）；運算“”為（a，b）（c，d）=（ac，bd）；運算“”為（a，b）（c，d）=（a+c，b+d）．設p、q都是有理數，若（1，2）（p，q）= （2，-4），則 （1，2）（p，q）=．

這道題通過定義新運算符號，增加了神秘色彩. 解答這道題的關鍵是正確理解題中規定的運算規則，按照規則把數對中的數進行運算.

解：由于（a，b）（c，d）=（ac，bd），所以（1，2）（p，q）=（p，2q）.

根據題意，有（p，2q）=（2，-4），所以p=2，2q=-4.解得p=2，q=-2.

又因為（a，b）（c，d）=（a+c，b+d），所以（1，2）（p，q）=（1，2）（2，-2）=（1+2，2-2）=（3，0）.故填（3，0）.

解這道題的關鍵是理解新運算符號的含義，按照其運算法則把陌生的問題轉化為熟悉的問題.

6. 整體思想

對于某些數學問題，若從局部著手求出個體可能比較困難，有時甚至不可能，這時可利用整體思想，將注意力和著眼點放在問題的整體上. 把一些看似彼此獨立但實質上緊密相關的量作為整體進行處理，這樣容易發現問題的實質.

例6當x=2時，代數式ax3-bx+5的值是4. 當x=-2時，求ax3-bx+5的值.

根據已知條件我們無法求出a、b的值，但當x的取值互為相反數時，ax3-bx的取值也互為相反數，因此，利用整體思想可以找到解決問題的途徑.

解：當x=2時，ax3-bx+5=4，所以23a-2b+5=4，即8a-2b=-1.

當x=-2時，ax3-bx+5=（-2）3a-（-2）b+5= -8a+2b+5=-（8a-2b）+5=-（-1）+5=6.

當單個字母的值不易求出時，可把已知條件中的式子作為一個整體，把這個整體看成一個新的“字母”，再求關于這個新“字母”的代數式的值.

7. 方程思想

所謂方程思想，就是從分析問題的數量關系入手，通過設定未知數，把問題中的已知量與未知量之間的數量關系利用等式表示出來，并通過解方程使問題得到解決. 許多題目表面上看并不是方程問題，有的甚至是幾何問題，但是也能運用方程思想來求解.

例7李剛在記賬時發現現金比賬目少了153.9元，查賬后得知是賬目中的一筆支出款的小數點記錯了一位.這筆記錯的支出款實際是元.

應抓住“小數點記錯了一位”這一主要信息，“小數點記錯了一位”的實際含義就是把某個數擴大了10倍或縮小到原來的.通過設未知數，利用方程思想即可求出結果.

解：設這筆記錯的支出款實際是x元，記賬時記成了10x元.

根據題意，得10x-x=153.9.解得x=17.1.故填17.1.

列方程解應用題最重要的步驟是審題，認真審題是列方程的基礎.準確找出已知量與未知量之間的關系是列方程的關鍵，恰當靈活地設元直接影響著列方程與解方程.

數學思想是數學知識的基礎和精髓，而數學方法則使數學思想得以具體實施，二者相輔相成. 雖然課本上沒有專門的章節介紹數學思想方法，但它隱含在概念的形成、公式的推導、法則的論證及習題的解決等過程中，因而同學們要用數學思想方法武裝自己，使自己真正成為數學學習的主人.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。