期末復習專題講解——思想方法

數(shù)學思想貫穿于數(shù)學學習的全過程，只有掌握了數(shù)學思想，才能使數(shù)學更易于理解和記憶，才能真正學好新知識，將知識轉化為能力. 在七年級上學期的學習內容中，就蘊涵著豐富的數(shù)學思想.現(xiàn)舉例說明如下.

1. 歸納思想

歸納就是從特殊的、個別的事例推出一般規(guī)律，歸納的過程就是創(chuàng)新的過程.這種思想方法常用于探索規(guī)律型問題.

例1觀察下列式子，探索其規(guī)律并填空.

1=（-1）2 × 1；1-3=（-1）3 × 2；1-3+5=（-1）4 × 3；1-3+5-7=（-1）5× 4……

請你計算：1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=

.

觀察上面幾個式子，我們發(fā)現(xiàn)，等式左邊都是奇數(shù)，符號“+”、“-”輪流出現(xiàn)；右邊為兩數(shù)的積，其中第一個因數(shù)是－1的乘方的形式，其指數(shù)比左邊的項數(shù)大1，第二個因數(shù)就是左邊的項數(shù). 因而1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=（-1）n+1 × n.

解：填（-1）n+1 × n.

探究規(guī)律型問題是創(chuàng)新思維的重要體現(xiàn)，要求我們從幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、歸納出一般的規(guī)律和性質.反過來，運用一般的規(guī)律和性質又可以驗證特殊的問題，這是數(shù)學中經(jīng)常使用的方法.

2. 分類討論思想

當被研究的問題包含多種情況，不能一概而論時，必須按照可能出現(xiàn)的所有情況分別加以討論，得出各種情況下相應的結論，這種處理問題的方法為分類討論思想.

例2已知線段AB=4.8cm，C是線段AB的中點，D 是線段BC的中點，點E在線段AB上，且CE=AC，畫圖并計算線段DE的長.

畫圖時，根據(jù)點E在線段AB上可知，它既可能在點C的左側，又可能在點C的右側.

解：（1）如圖1，當點E在點C的左側時，因為AB=4.8cm，C是線段AB的中點，所以AC=BC=AB=2.4cm.因為D 是線段BC的中點，所以CD=BC=1.2cm.又因為CE=AC，所以CE=0.8cm. 所以DE=CD+CE=1.2+0.8=2（cm）.

（2）如圖2，當點E在點C右側時，根據(jù)上面的過程可知， DE=CD-CE=1.2-0.8=0.4（cm）.

若題中沒有給出圖形，且圖中某些元素位置關系不明確，往往要分類討論，以免因考慮不周而造成漏解. 分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類都要按照同一標準進行；（2）不重復，不遺漏.

3. 用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個重要特點，也是數(shù)學中重要的思想方法. 用字母表示數(shù)，既能高度概括數(shù)學問題的本質規(guī)律，又能使數(shù)學問題的表達變得簡單明了，從而給計算和研究帶來方便.

例3計算：（++…+）（1++…+）-（1++…+）（++…+）.

這道題直接進行計算很麻煩，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，四個括號內的分數(shù)和具有一定的聯(lián)系. 若把括號內的分數(shù)和用字母表示，則可把數(shù)的運算變成式的運算.

解：設1++…+=a，++…+=b，則a-b=1.

原式=（b+）a-（a+）b==.

用字母代換復雜的式子，把繁雜的數(shù)字計算問題轉化為簡單的整式運算問題，簡化了解題過程，從而達到了化繁為簡、化難為易的效果.

4. 數(shù)形結合思想

所謂數(shù)形結合思想就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既弄清其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關系和圖形巧妙地結合起來，并充分利用這種結合尋求解題思路.

例4如圖3，M、N、P、R分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應的點，其中有一點是原點，并且MN=NP=PR=1.與數(shù)a對應的點在M點與N點之間，與數(shù)b對應的點在P點與R點之間.若|a|+|b|=3，則原點可能是（）.

A． M點或R點B． N點或P點

C． M點或N點D． P點或R點

若原點為M點，由題意知0 < a < 1，2 < b < 3，故有可能使|a|+|b|=3.若原點為N點，由題意知-1 < a < 0，1 < b < 2，故不可能使|a|+|b|=3. 同理可知，R點可能是原點，P點不可能為原點.

解：選A.

這里我們運用數(shù)形結合思想，先假設某種情況正確，經(jīng)過推理對結論進行判斷，當然我們也可以利用特殊值來驗證.

5. 轉化思想

轉化思想就是將所要解決的問題轉化為一個較易解決或已經(jīng)解決的問題.具體來說，就是把新知識轉化為舊知識，把未知轉化為已知，把復雜的問題轉化為簡單的問題. 它是初中數(shù)學中最重要、最常見的思想方法.

例5對于任意兩個有理數(shù)對（a，b）和（c，d），我們規(guī)定：當a=c，b=d時，有（a，b）=（c，d）；運算“”為（a，b）（c，d）=（ac，bd）；運算“”為（a，b）（c，d）=（a+c，b+d）．設p、q都是有理數(shù)，若（1，2）（p，q）= （2，-4），則 （1，2）（p，q）=．

這道題通過定義新運算符號，增加了神秘色彩. 解答這道題的關鍵是正確理解題中規(guī)定的運算規(guī)則，按照規(guī)則把數(shù)對中的數(shù)進行運算.

解：由于（a，b）（c，d）=（ac，bd），所以（1，2）（p，q）=（p，2q）.

根據(jù)題意，有（p，2q）=（2，-4），所以p=2，2q=-4.解得p=2，q=-2.

又因為（a，b）（c，d）=（a+c，b+d），所以（1，2）（p，q）=（1，2）（2，-2）=（1+2，2-2）=（3，0）.故填（3，0）.

解這道題的關鍵是理解新運算符號的含義，按照其運算法則把陌生的問題轉化為熟悉的問題.

6. 整體思想

對于某些數(shù)學問題，若從局部著手求出個體可能比較困難，有時甚至不可能，這時可利用整體思想，將注意力和著眼點放在問題的整體上. 把一些看似彼此獨立但實質上緊密相關的量作為整體進行處理，這樣容易發(fā)現(xiàn)問題的實質.

例6當x=2時，代數(shù)式ax3-bx+5的值是4. 當x=-2時，求ax3-bx+5的值.

根據(jù)已知條件我們無法求出a、b的值，但當x的取值互為相反數(shù)時，ax3-bx的取值也互為相反數(shù)，因此，利用整體思想可以找到解決問題的途徑.

解：當x=2時，ax3-bx+5=4，所以23a-2b+5=4，即8a-2b=-1.

當x=-2時，ax3-bx+5=（-2）3a-（-2）b+5= -8a+2b+5=-（8a-2b）+5=-（-1）+5=6.

當單個字母的值不易求出時，可把已知條件中的式子作為一個整體，把這個整體看成一個新的“字母”，再求關于這個新“字母”的代數(shù)式的值.

7. 方程思想

所謂方程思想，就是從分析問題的數(shù)量關系入手，通過設定未知數(shù)，把問題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關系利用等式表示出來，并通過解方程使問題得到解決. 許多題目表面上看并不是方程問題，有的甚至是幾何問題，但是也能運用方程思想來求解.

例7李剛在記賬時發(fā)現(xiàn)現(xiàn)金比賬目少了153.9元，查賬后得知是賬目中的一筆支出款的小數(shù)點記錯了一位.這筆記錯的支出款實際是元.

應抓住“小數(shù)點記錯了一位”這一主要信息，“小數(shù)點記錯了一位”的實際含義就是把某個數(shù)擴大了10倍或縮小到原來的.通過設未知數(shù)，利用方程思想即可求出結果.

解：設這筆記錯的支出款實際是x元，記賬時記成了10x元.

根據(jù)題意，得10x-x=153.9.解得x=17.1.故填17.1.

列方程解應用題最重要的步驟是審題，認真審題是列方程的基礎.準確找出已知量與未知量之間的關系是列方程的關鍵，恰當靈活地設元直接影響著列方程與解方程.

數(shù)學思想是數(shù)學知識的基礎和精髓，而數(shù)學方法則使數(shù)學思想得以具體實施，二者相輔相成. 雖然課本上沒有專門的章節(jié)介紹數(shù)學思想方法，但它隱含在概念的形成、公式的推導、法則的論證及習題的解決等過程中，因而同學們要用數(shù)學思想方法武裝自己，使自己真正成為數(shù)學學習的主人.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。