利用案例教學激發學生對數學學習的興趣

何謂案例教學？簡言之，就是運用案例開展教學的一種方法。那么什么是“案例”呢？簡單地說一個案例就是一個實際情境的描述，在這個情境中，包含有一個或多個疑難問題，同時也可能有解決這些問題的方法，這在中學課堂特別是數學課堂卻少有耳聞，面對新課程改革的熱潮和數學新教材的特點，案例教學作為一種行之有效的教學方法日益受到重視并逐漸在中學數學課堂上得到應用和推廣。

在第一輪復習函數時，我在屏幕上打出這樣一道練習題與解答：

對于函數y=f(x)，若滿足f(x-2)=f(2-x)，則y= f(x)的圖象 （）

A．關于直線x=0對稱B．關于直線x=2對稱

C．關于直線x=-2對稱 D．以上結論都正確

解法1 (換元法)令t=x-2，則f(t)=f(-t)，顯然f(t)為偶函數，所以f(t)的對稱軸為t=0，由t=x-2得，有x-2=0，即x=2，所以函數y= f(x)關于x=2對稱，選B。

解法2 (換元法)令t=x-2，則有f(x)=f(t+2)，又有f(t)=f(-t)，知f(t)為偶函數，其對稱軸為t=0，所以f(t+2)的對稱軸為由t=-2，因為f(x)=f(t+2)，所以f(x)的對稱軸就是f(t+2)的對稱軸，把t=x-2中的t換成x，得x=-2，選C。

解法4 (特例法) 令f(x)=1，顯然滿足f(x-2)= f(2-x)，而f(x)=1的對稱軸有無數多條，故選D。

讓學生看完案例后，問：到底哪一種解法正確？話音未落，教室中已是一片私語聲，有的同學看著屏幕若有所思；有的在稿紙上探究正確的答案，有的在互相交流。

學生1 我認為解法1是正確的，利用t=x-2換元后，題中的條件“f(x-2)=f(2-x)”變成了“f(t)= f(-t)”，此時f(t)顯然為偶函數，所以f(t)的對稱軸應該是t=0，而t=0時，x=2，這不就是換元前f(x)的對稱軸嗎？

學生2 我認為解法1是錯誤的，利用t=x-2換元本身并沒有錯，f(t)的對稱軸是t=0也沒有錯，但t=0代入到t=x-2中所得到的x=2不是f(x)的對稱軸，因為換元后f(x)與f(t+2)是對應函數，而f(t+2)的對稱軸為t=-2，再把t=-2代入t=x-2中所得到的對稱軸是x=0。故f(x)的對稱軸是x=0。

教師 那么x=2又是誰的對稱軸呢？

學生3 既然f(x)的對稱軸是x=0，x=2不就是函數f(x-2)的對稱軸了。

教師 那么解法2錯在哪里呢？

學生4 解法2換元后得出f(t+2)的對稱軸為t= -2，直接把t換成x得出f(x)的對稱軸，這樣犯了兩個不同換元t=x-2與t=x造成了自相矛盾的錯誤。

教師 很好，其實既然f(t+2)與f(x)是對應函數，f(t+2) 對稱軸為t= -2，回代到t= x-2中所得到x=0不就是f(x)的對稱軸了嗎？對于解法3求出的對稱是x=0，這種解法對嗎？解法4又怎樣呢？

學生6 從方法上講，解法4并沒有錯，它錯就錯在以偏概全，f(x)=1只是滿足題設條件的一個特殊函數，而我們要找的是對所有滿足題設條件的函數f(x)都能成立的結論。

通過教師的點撥與啟發，學生踴躍發言，各抒己見，對四種解法的正確性進行了探析，找到正確答案是A，當然這個問題并不有結束，為了使學生的思維的空間更加的開闊。

教師 若將題中的條件換成f(x-10)=f(10-x)，結果又是怎樣呢？再換成f(x-2)= f(10-x)，結果又是怎樣呢？

當同學們類比前面問題的解法對這個問題作出解答后，教師先暫不追問是如何得出結果的，而繼續探討以下問題：

你能從該問題中抽象出這類題型的一般模式嗎？教師啟發引導：2和10 不同，可以換成字母。

學生6 對函數y=f(x)，若滿足f(x-a)= f(b -x)，(a、b∈R)，求f(x)的對稱軸。

教師 很好，那么這類問題有哪些解決方法呢？

至此已揭示出這類問題的一般規律，實現了由量變到質變的認知過程，每一位學生都參與了這條“規律”的積極探究，收獲了自己的學習成果。學生在案例教學的課堂上，形成學生自我尋求發展的愿望，極大地激發了學生對數學學習的濃厚興趣。

為將此題的學習引向深入，筆者繼續向學生提出如下兩個相關問題：

1）請問函數y= f(x+a)與函數y= f(b -x)的圖象關于哪條直線對稱？

2）若把f(x-a)= f(b -x)改變與f(x-a)= f(x - b)，那么y= f(x)還有對稱軸嗎？