多邊形重點講練

陳德前江蘇省數學特級教師，江蘇省興化市教育局教研室副主任，中國管理科學研究院學術委員會特約研究員，江蘇省考試研究會會員，江蘇省教育學會中學數學教育專業委員會會員，泰州市教育學會數學教育委員會會員，興化市人民政府兼職督學，興化市數理化學會會員，興化市教育學會副秘書長.

一、正多邊形的概念

1. 概念

各條邊相等，各個內角也相等的多邊形叫做正多邊形.

2. 理解正多邊形需要注意的兩點

（1）邊數為n（n > 3）的多邊形，必須同時滿足“各條邊相等”、“各個內角相等”兩個條件，我們才能說它是正多邊形.如菱形的各條邊相等，但各個內角不一定都相等，它不一定是正四邊形（即正方形）.又如矩形的各個內角相等，但各條邊不一定相等，所以它不一定是正四邊形（即正方形）.

（2）當多邊形的邊數為3時，只要滿足“各條邊相等”、“各個內角相等”兩個條件中的任意一個，它就是正三角形，這是一個特例.

3. 例題賞析

例1（2007年河南中考題）將圖1（1）所示的正六邊形進行分割得到圖1（2），再將圖1（2）中某一個較小的正六邊形按同樣的方式進行分割得到圖1（3）， 再將圖1（3）中某一個較小的正六邊形按同樣的方式進行分割……則在第n個圖形中共有個正六邊形.

[解析：]該題主要是對正六邊形進行分割.圖1（1）中有1個正六邊形，即3×（1-1）+1=1；圖1（2）中有4 個正六邊形，比圖1（1）中多 3個正六邊形，即3×（2-1） +1=4；圖1（3）中有7個正六邊形，比圖1（2）中多3個正六邊形，即3×（3-1）+1=7……所以第n個圖形中正六邊形的個數為3（n-1）+ 1=3n-2.

二、正多邊形的鑲嵌

1. 對鑲嵌的理解

正多邊形能否鑲嵌成平面圖案，關鍵是看這些正多邊形位于同一個重合的頂點周圍的內角之和是否等于360°.

2. 例題賞析

例2（2007年長沙市中考題）單獨使用正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形4種地磚中的某一種，不能密鋪地面的是．

[解析：]正三角形的每個內角都是60°，360°÷60°=6，用6個正三角形就可以密鋪地面.正方形的每個內角都是90°，360°÷90°=4，用4個正方形就可以密鋪地面.正六邊形的每個內角都是120°，360°÷120°=3，用3個正六邊形就可以密鋪地面.正八邊形的每個內角都是135°，360°÷135°的結果不是正整數，所以用正八邊形不可以密鋪地面.

例3（2006年武漢市中考題）陽光中學閱覽室正在裝修，裝修工人準備用邊長相等的正方形地磚和正三角形地磚密鋪地面.每個重合的頂點周圍的正方形地磚、正三角形地磚的塊數分別是（）.

A. 2、2 B. 2、3C. 1、2D. 2、1

[解析：]正方形的每個內角都是90°，正三角形的每個內角都是60°，2×90°+3×60°=360°.應選B.

三、即學即練

1． 一個多邊形的內角和為720°，則這個多邊形的邊數為___________.

2． （2006年云南中考題）正多邊形的一個外角為 36°，則這個正多邊形的邊數為（）.

A. 6B. 8C. 10D. 12

3． （2007年哈爾濱市中考題）哈爾濱市進行城區人行道翻新，準備選用同一種正多邊形地磚鋪設地面．下列正多邊形地磚中，不能進行平面鑲嵌的是（）.

A． 正三角形 B． 正方形

C． 正五邊形 D． 正六邊形

參考答案：1. 62. C3. C