平面直角坐標系復習導航

王鋒中學高級教師，現任職于江蘇豐縣中學初中部，中國教育學會數學教育研究發展中心優秀會員，中國數學奧林匹克一級教練，數學優秀骨干教師，其業績被收錄于《中國當代 數學家與數學英才大辭典》，參編或主編有多部教學輔導用書，課題“初中數學思想方法”已成功結題.

1. 平面直角坐標系的基本知識

在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就構成了平面直角坐標系.水平的數軸稱為x軸，豎直的數軸稱為y軸.兩坐標軸的交點稱為坐標原點.

如圖1，兩條坐標軸將坐標平面分成的四個區域稱為象限，按逆時針順序分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐標軸不屬于任何象限.

建立平面直角坐標系以后，平面內的點就與一對有序的實數（點的坐標）建立了一一對應的關系.

2. 點與坐標之間的轉化

（1）根據點P的坐標（a，b）描出點P的位置：先在x軸上找到表示a的點，過此點作x軸的垂線，再在y軸上找到表示b的點，過此點作y軸的垂線，兩條垂線的交點即為要確定的點P的位置.

根據點的位置求點的坐標是上述過程的逆過程.

（2）點的坐標的特征：x軸上點的縱坐標為0；y軸上點的橫坐標為0；坐標原點為（0，0）.各個象限內點的坐標的符號如圖1所示.

例1在平面直角坐標系中，請將點A（3，3），B（-1，-1），C（1，1），D（5，3），E（-1，-4），F（-5，-2）按下列要求分為兩類，并寫出同類具有而另一類不具有的一個特征.

（1）點________是同類點，特征是___________.

（2）點________是同類點，特征是___________.

[解析：]點A、C、D是同類點，特征是它們都在第一象限；點B、E、F是同類點，特征是它們都在第三象限.答案不唯一.

3. 平移前后點的坐標之間的關系

一個點向右平移m個單位，其橫坐標加上m，向左平移m個單位，其橫坐標減去m；向上平移m個單位，其縱坐標加上m，向下平移m個單位，其縱坐標減去m.

例2在平面直角坐標系中，描出點（0，4），（3，1），（2，0），（7，0），（6，1），（9，4），（0，4），用線段將各點順次連接起來.觀察你所描出的圖形，你覺得它像什么？將各點的橫坐標分別減去3，縱坐標分別減去2，再將它們用線段順次連接起來，與原圖形相比，所得圖形有什么變化？

[解析：]如圖2，圖形像一個碗.各點的橫坐標分別減去3，縱坐標分別減去2后，所得各點的坐標依次是（-3，2），（0，-1），（-1，-2），（4，-2），（3，-1），（6，2），（-3，2）.所得圖形形狀和大小都不變，是原圖形先向左平移3個單位長度后，再向下平移2個單位長度得到的.

4. 平面直角坐標系的實際應用

（1）在實際情景中，給出兩個物體（可看做點）的位置（坐標），確定另外一個物體的位置時，常采用逆向思維的方法，先根據所給的兩個點的坐標，畫出平面直角坐標系，然后再由所求物體與已知物體的位置關系找到與它對應的點的坐標.

（2）建立平面直角坐標系，描述物體的位置或求平面圖形上某點的坐標時，應根據具體情景或圖形特征，選取適當的參照點為原點建立平面直角坐標系.

例3如圖3，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，我們稱每個小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.

（1）圖中的格點三角形ABC是由格點三角形DEF通過怎樣的變換得到的？

（2）在圖中建立適當的平面直角坐標系，寫出△ABC各頂點的坐標.

[解析：]（1）將 △DEF 先向下平移4個單位長度，再向右平移5個單位長度可得到△ABC.

（2）答案不唯一，只要正確建立平面直角坐標系并正確寫出各點坐標即可.如按照圖4所示的方法建立平面直角坐標系，則點A（0，0），C（2，-1），B（2，3）.