無限長密繞載流螺線管內外磁場的深入分析

摘要 針對普通物理學中理想螺線管外磁場為零的問題，提出建立與實際更接近的螺線管模型，并給出其磁場分布。從理論上說，管外磁場是否嚴格為零，與管外和管內磁場相比是否可以忽略，這是兩個不同的問題。對于無限長載流直螺線管磁場的計算，似乎不難，但在分解電流時易出錯誤，本文給出清晰的分析和明確的答案。

關鍵詞 直螺線管；密繞；面電流密度；磁場

中圖分類號：G644.5 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X（2008）20-0064-02

在電磁學課程中講授恒定磁場時，通常都把密繞載流長直螺線管直接近似看成是一系列的圓線圈排列組成。其內部生成的合磁場可由Ampere環路定理證明，管內磁場是均勻的，即得出[1]：。

式中n是單位長度的匝數，I是電流強度。

該結果是忽略了螺距而得到簡化的結果，現就將螺線管線圈進行簡化來分析管內磁場的大小分布情況。

1 螺線管內部磁場分析與計算

對于密繞螺線管，螺距即為導線的直徑。在密繞條件下，相當于螺線管表面有一均勻的表面電流層。定義垂直通過單位長線段的電流強度為面電流密度。

如圖1所示，根據理論計算可知，的大小為：。

其中R為螺線管半徑，軸向與環向分量為[2]：。軸向總電流為：。通過單位長度線段的環向總電流為：。

如圖2所示，通以電流為I的密繞載流長直螺線管可以看為半徑為R的圓柱形殼層模型，其平行于軸向方向，由通以總電流為I和單位長度的匝數為n的無限多個大小為I的環向電流兩部分組成。

因此，螺線管內部磁場就由這兩部分電流產生組成，在柱坐標下，設軸向為z軸，半徑方向為r軸，環向為軸。

1.1 圓柱形殼層上平行軸向方向的電流I在螺線管內部產生的磁場的計算

1）先計算的徑向分量。作如圖3所示的同軸圓柱面。根據磁場Gauss定理，通過上述閉合圓柱面的磁通量為零，即。

由于左右底面、與垂直，故積分為零。則由上式可得：。

由軸對稱可知，側面各點徑向磁場強度大小都相等，并與側面垂直，則上式積分可得：，。

2）計算的環向分量。作如圖4所示的同軸圓環，則平行于軸向的電流I產生的磁場的環向分量 可由Ampere環路定理求出，由于電流集中在殼層上，螺線管內無電流，所以。

3）分析的軸向分量。如果將殼層上平行于軸向的電流I分割為N個直導線電流，可知每條直導線電流i所產生的磁場強度方向都垂直于z軸。故總磁場強度也不會有z軸分量，即。

1.2 圓柱形殼層上環向電流nI在螺線管內部產生的磁場的計算

可簡單求得：。故從以上討論分析可見，螺線管內部的磁場是殼層上環向電流nI產生的，而殼層表面平行于軸向的電流I在螺線管內不產生磁場，對內部磁場無貢獻。與課本結果相同。

2 螺線管外部磁場分析與計算

2.1分析螺線管外部磁場特點對于密繞無限長螺線管管外的磁場的特點，可以先作如下的定性分析。為了方便敘述，作如圖5所示的柱坐標（z，r，），其中z軸沿螺線管的軸線，徑向坐標為r，橫向坐標（方位角）為 。經定性分析，容易得出如下結論：

1）由對稱性，管外磁場既不是z的函數，也不是的函數，故管外磁場不可能是均勻磁場，只能是徑向坐標r的函數。

2）管外磁場（為了方便，寫成）的徑向分量=0。為了證明這一結論，作如圖5所示的同軸圓柱面。根據磁場Gauss定理，通過上述閉合圓柱面的磁通量為零，即。

由對稱性，通過左、右底面的磁通量應互相抵消，故。式中是管外磁場的徑向分量，故有。

3）管外磁場的分量應為零，即。為了證明這一結論，作如圖5所示的矩形回路abcd，其中ab邊、cd邊與軸線的距離可任意。由對稱性，因無凈電流穿過此閉合回路，根據Ampere環路定理，有。

式中和分別是ab邊和cd邊處磁場的軸向分量。因在bc邊和da邊的管內部分處的磁場（管內磁場） 與垂直，故對積分無貢獻；而在bc邊和da邊的管外部分處，前已證明，管外磁場的徑向分量=0，故對積分也無貢獻，于是上式右端第二項和第四項均為零，所以=0。又因ab邊和cd邊離軸線的距離是任意的，故管外磁場的z分量只能是===0。

2.2 螺線管外部磁場的計算作如圖6所示的半徑為r同軸圓環。根據討論，管外部的磁場只有環向分量，可由Ampere環路定理求出，。

3 總結

綜上所述，無限長載流螺線管內部磁場是由環向面電流所建立的，磁感應強度的大小，方向沿螺線管軸向；其外部磁場系由軸向面電流所建立，磁感應強度的大小，方向沿環向，并與軸向電流成右手螺旋。

參考文獻

[1]梁紹榮.電磁學[M].北京:高等教育出版社，2005:195-256

[2]陳秉乾，舒幼生，胡望雨.電磁學專題研究[M].北京:高等教育出版社，2001:630-644