相似之高明 枚舉之奇妙

張景中：河南汝南人，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)科普作家、中國(guó)科學(xué)院院士，曾任中國(guó)科普作家協(xié)會(huì)理事長(zhǎng)，現(xiàn)任廣州大學(xué)計(jì)算機(jī)教育軟件研究所所長(zhǎng)。

編者語(yǔ)：在上一期，張景中院士給同學(xué)們介紹了構(gòu)造法和反證法． 這期，張?jiān)菏繉⒔又米约邯?dú)到的講解方式為同學(xué)們介紹另外兩種解題方法——相似法和枚舉法，讓大家充分領(lǐng)略學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)！

相似法——按圖索驥，了如指掌

相似法又叫“關(guān)系—映射—反演法”，簡(jiǎn)稱RMI原則. 它的一般模式如下圖所示：

[已知物與

未知物的關(guān)系][已知象與

未知象的關(guān)系][找到未知物][找到未知象][反演][映射]

我們舉個(gè)例子. 就拿對(duì)數(shù)的用法來(lái)說(shuō)，原來(lái)的問(wèn)題是求等于多少？如果設(shè)x=，則已知物是5和2，未知物是x，它們之間的關(guān)系是x5=2． 僅憑這個(gè)關(guān)系找x并不容易． 于是我們對(duì)這個(gè)關(guān)系作一個(gè)映射——取對(duì)數(shù)，此時(shí)，lgx和lg2就是x和2的象． 這樣一來(lái)，象與象之間的關(guān)系就變?yōu)椋?lgx=lg2． 憑借這一關(guān)系我們就可以找到未知象lgx=lg2=×0.301 0=0.060 2，最后反演回去，便找到0.060 2對(duì)應(yīng)的真數(shù)（未知物）是1.149，即x=≈1.149，這就解決了原來(lái)的問(wèn)題．

枚舉法——盡掘七十二疑冢

枚舉，就是把要討論的問(wèn)題分成若干個(gè)具體情形，一一考查，各個(gè)擊破． 下面就是一個(gè)用枚舉法解決的有趣的問(wèn)題．

在一張紙條上寫下兩個(gè)自然數(shù)x與y之和，交給數(shù)學(xué)家甲；在另一張紙條上寫下這兩個(gè)自然數(shù)的積，交給另一個(gè)城市的數(shù)學(xué)家乙． 兩人都被告知：x，y是大于1而且不超過(guò)40的整數(shù)． 甲、乙兩位數(shù)學(xué)家在電話中討論，甲說(shuō)：“我斷定，你不可能知道我手中是什么數(shù)．” 乙回答說(shuō)：“是的，我不能肯定你的數(shù)是什么．” 過(guò)了一會(huì)兒，甲說(shuō)：“可是現(xiàn)在我知道你的數(shù)了!”乙回答說(shuō)：“那我也知道你的數(shù)了!”現(xiàn)在請(qǐng)問(wèn)，x，y各等于多少？他們兩人又是如何知道對(duì)方手中的數(shù)字的呢？

從反面想，如果乙手中的數(shù)是兩個(gè)素?cái)?shù)之積（如6=2×3，9=3×3，15=3×5），則乙馬上就可猜出甲手中的數(shù)是這兩個(gè)素?cái)?shù)之和． 但甲能斷定乙不知道他手中的數(shù)，可見甲手中的數(shù)不能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和． 因此我們便知道（乙也知道）甲手中的數(shù)不外乎是：11，17，23，27，29，35，37這七種可能． 由此可分析知道：

如果甲手中的數(shù)是37，因37=2+35=3+34=…故乙手中的數(shù)有可能是70=2×35，102=3×34等等． 若乙手中的數(shù)是70=7×10，則乙有可能猜想甲手中的數(shù)為17． 若乙手中的數(shù)是102=6×17，則乙有可能猜甲手中的數(shù)為23． 總之，兩種情形之下乙都可能猜錯(cuò)． 故甲從乙說(shuō)的“不能肯定”而無(wú)法確定乙手中的數(shù)是70還是102，或是別的數(shù)． 但后來(lái)甲知道了乙手中的數(shù)，故甲手中的數(shù)不是37．

同理可知，甲手中的數(shù)也不是35，29，27，23或17．

現(xiàn)在只剩下一種可能：甲手中的數(shù)是11． 由于11=2+9=3+8=4+7=5+6，故甲可以判斷乙手中的數(shù)不外乎是18=2×9，24=3×8，28=4×7，30=5×6四種情形． 若乙手中的數(shù)為18，18=2×9=3×6，則乙只能猜甲手中的數(shù)為11=2+9或9=3+6，而9是不可能的，于是乙能肯定甲為11. 但乙說(shuō)他不能肯定，故乙手中的數(shù)不是18． 同理可知，乙手中的數(shù)也不是24或28． 最后，若乙手中的數(shù)是30=5×6=2×15=3×10，則乙有可能猜甲手中的數(shù)是11或17（13不可能），因此乙不能肯定甲手中的數(shù)是什么． 而此時(shí)，甲在乙表示“不能肯定”時(shí)斷言乙手中的數(shù)是30，那么乙也就知道了甲手中的數(shù)只能是11．