靈活換元 凸顯隱含條件

換元法又稱輔助元素法或變量代換法，是重要的數(shù)學(xué)方法之一，它涉及的題型較多，處理的方法靈活. 其解題實(shí)質(zhì)就是通過引入一些新的變量進(jìn)行代換，并簡化其結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到解決問題的目的. 換元法可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，因而在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列以及三角函數(shù)等問題中有著廣泛的應(yīng)用. 換元的方法主要有局部換元、三角換元、均值換元等. 下面筆者通過幾個(gè)不同的例子介紹換元法的應(yīng)用．

一、應(yīng)用于方程

例１（2006年湖北）關(guān)于x的方程（x2－1）2－x2－1＋k＝0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根，

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

解析：根據(jù)題意令t＝｜x2－1｜（t≥0），則方程可化為k＝－t2＋t. 分別作出t＝｜x2－1｜與k＝－t2＋t（t≥0）的圖象（如圖1，圖2）.根據(jù)圖2可知，

當(dāng)k＝時(shí)，方程k＝－t2＋t有唯一解t＝，并結(jié)合圖1可知，方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

當(dāng)0＜k＜時(shí)，方程k＝－t2＋t有兩個(gè)解屬于（0，1），此時(shí)方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

[-5][5][2][4][6][-2][-4][-6][O][t][x]

圖1

[O][0.2][0.4][0.6][-0.5][0.5][1][k][t][O]

圖2

當(dāng)k＝0時(shí)，方程k＝－t2＋t有兩個(gè)解t＝0與t＝1，此時(shí)方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

當(dāng)k＜0時(shí)，方程k＝－t2＋t有唯一解t＞1，此時(shí)方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根. 因此四個(gè)命題都是正確的，故選A．

點(diǎn)評(píng)：換元法是解方程的一種常用手段，利用“整體變量”的思想將復(fù)雜的變量替換為新的變量，使問題得以簡化. 本題通過令x2－1＝t（t≥0）進(jìn)行換元，使方程化為t2－t＋k＝0，此時(shí)問題便轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程根的分布問題. 此外，在分析問題時(shí)同學(xué)們需做到嚴(yán)謹(jǐn)仔細(xì)．

二、應(yīng)用于函數(shù)

例２求函數(shù)y＝＋的值域.

解析：令a＝，b＝，則a≥0，b≥0，且3a2+b2=3.

再令a＝cosθ，b＝sinθ，且θ∈0，

，則y＝a＋b＝cosθ＋sinθ＝2cosθ

－. 又因θ－∈

－，

，所以cosθ

－∈

，1. 故y∈［1，2］.

點(diǎn)評(píng)：本題先通過代數(shù)換元，消去了x，得到了關(guān)于a和b的條件等式，使問題轉(zhuǎn)化成了同學(xué)們熟知的題型，接著再通過三角換元，把一個(gè)雙元函數(shù)轉(zhuǎn)化成了單元三角函數(shù)，從而使問題得以解決.

三、應(yīng)用于數(shù)列

例３在數(shù)列｛an｝中，已知an＝Sn·Sn－1（n≥2），且a1＝，求通項(xiàng)｛an｝.

解析：因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1＝Sn·Sn－1，

所以有－＝－1（n≥2）.

設(shè)bn＝，則｛bn｝為公差是－1的等差數(shù)列，且b1＝＝，則bn＝－（n－1）＝－n，所以Sn＝＝＝.

所以an＝Sn·Sn－1＝·＝（n≥2），

故an＝

（n＝1），

（n≥2）.

點(diǎn)評(píng)：在求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，如果使用換元法，通過變量代換把問題劃歸到等差數(shù)列、等比數(shù)列或其他特殊數(shù)列上來研究，便可以達(dá)到化繁為簡，化陌生為熟悉的目的．

四、應(yīng)用于三角函數(shù)

例４設(shè)函數(shù)f（x）＝（sinx＋a）（cosx＋a），其中a為常數(shù). 試求函數(shù)f（x）的最小值.

解析：y＝f（x）＝（sinx＋a）（cosx＋a）＝sinx·cosx＋a（sinx＋cosx）＋a2，令t＝sinx＋cosx，則sinx·cosx＝，t∈［－，］，于是y＝＋at＋a2＝（t＋a）2＋，由此可分析得，

當(dāng)a>時(shí)，－a<－，y關(guān)于t在

－，

上為增函數(shù)，當(dāng)t＝ －時(shí)，ymin＝a2－a＋；

當(dāng)－≤a≤時(shí)，－≤ －a≤，當(dāng)t＝－a時(shí)，ymin＝；

當(dāng)a<－時(shí)，－a>，y關(guān)于t在

－，

上為減函數(shù)，當(dāng)t＝時(shí)，ymin＝a2＋a＋.

故有①當(dāng)a>時(shí)， f（x）min=a2-a+；②當(dāng)－≤a≤時(shí)， f（x）min=；③當(dāng)a<-時(shí)， f（x）min=a2＋a＋.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)函數(shù)式中含有sinx±cosx與sinx·cosx時(shí)，通常令t＝sinx±cosx進(jìn)行換元，借助sinx±cosx與sinx·cosx之間的關(guān)系將sinx·cosx用t表示出來，從而得到關(guān)于t的二次函數(shù). 此外，換元時(shí)還應(yīng)注意變量的取值范圍.

五、應(yīng)用于不等式

例５已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥.

證明：令a＝＋x，b＝＋y，c＝＋z，由a＋b＋c＝1可知x＋y＋z＝0，所以a2＋b2＋c2＝

＋x＋

＋y＋

＋z＝＋x2＋y2＋z2≥（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝0，即a＝b＝c＝時(shí)，等號(hào)成立）. 故命題得證.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)解析式中出現(xiàn)多個(gè)變量之和為常數(shù)的情況時(shí)，可以考慮用均值進(jìn)行換元，消去一些項(xiàng)，從而達(dá)到簡化解題過程的目的.

六、應(yīng)用于圓錐曲線

例６（Ⅰ）過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓Γ：＋y2＝1交于A，C與B，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積的最小值為（）

A． B． 4

C． 2 D．

解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，故由對稱性可知只需考慮△OAB面積的最小值． 設(shè)A（r1cosα，r1sinα），

Br2cosα＋

，r2sinα＋

，

即B（－r2sinα，r2cosα），

其中r1，r2＞0，

因?yàn)锳，B在橢圓上，

所以

+sin2α=

，

+cos2α=

#8658;+=#8658;r1r2≥，

所以S△OAB＝r1r2≥·＝，即四邊形ABCD面積的最小值為．故選A.

（Ⅱ）點(diǎn)P（x，y）在橢圓＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，求函數(shù)u＝x2＋2xy＋4y2＋x＋2y的最大值.

解析：由于點(diǎn)P（x，y）在橢圓＋y2＝1上移動(dòng)，故可設(shè)x＝2cosθ，

y＝sinθ.

于是u＝x2＋2xy＋4y2＋x＋2y＝4cos2θ＋4sinθcosθ＋4sin2θ＋2cosθ＋2sinθ＝ 2［（cosθ＋sinθ）2＋cosθ＋sinθ＋1］.

令cosθ＋sinθ＝t，

又因sinθ＋cosθ＝sinθ＋

，

所以｜t｜≤.

于是u＝2（t2＋t＋1）＝2t＋

＋，此時(shí)｜t｜≤.

所以，當(dāng)t＝，即sinθ＋

＝1時(shí)，u有最大值. 即當(dāng)θ＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，有umax＝6＋2.

故函數(shù)的最大值為6＋2.

點(diǎn)評(píng)：凡涉及x2＋y2＝r2（令x＝rcosθ，y＝rsinθ），＋＝1（令x＝acosθ，y＝bsinθ），－＝1（令x＝asecθ，y＝btanθ）的題目均可利用三角換元，將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量以便求解，同時(shí)還要注意根據(jù)實(shí)際需要對角進(jìn)行條件限制.