巧妙構造 舊貌換新顏

構造法是一種創造性的數學方法. 其解題實質是通過對條件和結論的分析，構造出輔助元素（這種輔助元素可以是圖形、方程或方程組、函數、等價命題等），架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決. 構造法一般可以應用在求函數的值域和最值、解三角形、證明不等式以及求解恒成立問題等方面． 雖然構造的方法很多，但它們并不是獨立的，并且使用時沒有固定的模式，需要根據具體的問題采用相應的方法，因此技巧性很強． 此外，構造法的運用還需要借助聯想法、化歸法等，體現了數學思維的靈活性和創造性． 下面筆者通過幾個不同的例子介紹構造法的應用．

一、巧構方程妙證不等式

例1已知p3+q3=2，求證：p+q≤2．

證明：由p3+q3=2，

得（p＋q）3－3pq（p＋q）＝2，

令p＋q＝k，則k3－3pqk＝2，

得pq＝（k≠0），

設p、q為一元二次方程的兩個根，故有x2－kx＋＝0，

因為Δ＝k2－4·≥0，

所以≥0，即≤0，

所以由k（k－2）（k2＋2k＋4）≤0，

k≠0，

解得0＜k≤2，

故p＋q≤2成立．

點評：如何將條件向結論化歸是解決問題的關鍵. 就本題而言，如何將條件化為p＋q的關系式是解決問題的突破口． 由已知條件容易得到p，q的和與積的關系式，如果將p＋q看作一個整體k，則pq也可以用k表示. 由此聯想到方程根與系數的關系，便可構造出一個方程，利用“方程有解#8660;Δ≥0”，即可求出k的范圍，使問題得以解決.

二、巧構向量妙證不等式

例2設a，b，c，d∈R，求證：ad＋bc≤·．

證明：設m＝（a，b），n＝（d，c），

則m·n＝ad＋bc，

m

＝，

n

＝，

由性質m·n≤

m

·

n

，可得ad＋bc≤·，故命題得證.

點評：根據需證式子的特點，構造向量，并利用向量的數量積與向量模之間的關系，使命題得證． 用此法解題時需要觀察題目是否能構造出兩個向量，再結合向量模的運算以及向量的數量積的性質等知識，向要求解的問題靠攏．

三、巧構不等式妙證不等式

例3若a，b∈R+，a＋b＝2，求證：＋≤2．

證明：＝≤·＝（a＋2），

同理，≤（b＋2），

所以＋≤（a＋2）＋（b＋2）＝2，故命題得證.

點評：由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當a＝b＝1，即2a＋1＝2b+1=3時，等號才成立，所以解題時可構造局部不等式． 證明本題這樣的不等式，若從整體上考慮則難以下手，如果構造若干個結構完全相同的局部不等式，并逐一加以證明，再利用同向不等式相加的性質，便可使命題得證．

四、巧構斜率妙求函數值域

例4求函數f（x）＝的值域．

解析：令μ＝－cosx，θ＝sinx，則f（x）＝，且μ2＋θ2＝1表示單位圓．

此時，令k＝f（x），則k表示連結定點P（2，3）與單位圓上任意一點（μ，θ）所得的直線的斜率． 顯然該直線與圓相切時，k取得最值. 此時，圓心（0，0）到直線θ－kμ－（3－2k）＝0的距離為1，即＝1，所以k＝2±．

故2－≤k≤2＋．

點評：由函數f（x）的形式，可以聯想到直線的斜率公式，于是將f（x）構造成斜率公式的形式，即將f（x）看作定點（2，3）與動點（－cosx，sinx）連線的斜率，故f（x）的值域為斜率的范圍． 此法適用于分式三角函數求值域，且分子和分母一個是sinx，另一個是cosx的情況．

五、巧構函數妙解“恒成立”

例5若對一切實數x，不等式≥1均成立，求實數m的取值范圍．

解析：由題意，知m＞0，因此原不等式恒成立等價于m≤＝x2＋＝（x2＋2）＋－2恒成立，令t＝x2＋2，則y＝t＋（t≥2），即y＝t＋在［2，＋∞）上為增函數，所以t＝2，即x=0時，ymin＝4． 要使不等式m≤（x2＋2）＋－2恒成立，只要m≤ymin－2，所以m≤2，又m＞0，故實數m的取值范圍是0＜m≤2．

點評：求解恒成立問題時，可構造同學們熟悉的函數類型，然后根據函數的性質解題． 就本題而言，首先由觀察題干可得m為正數，接著分離變量，并構造函數y＝x＋，最后利用函數的單調性求出m的范圍． 求解這類問題時經常要用變量分離的方法，而應用這一方法的關鍵是分清參數與變量．

六、巧構數列妙解三角函數

例6已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），求tanθ的值．

解析：由條件sinθ＋cosθ＝，可知sinθ，，cosθ構成一個等差數列．

設其公差為d，則sinθ＝－d，cosθ＝＋d，由sin2θ＋cos2θ＝1，可得

-d2＋

+d2＝1，解得d＝±．

又因為θ∈（0，π），所以sinθ＞0，故d＝舍去．

所以d＝－，則sinθ＝，cosθ＝－．

故tanθ＝＝－．

點評：因為sinθ，cosθ之間存在關系sin2θ＋cos2θ＝1，所以本題利用等差數列的性質，巧妙地構造了sinθ，，cosθ這樣一個等差數列，從而解出sinθ，cosθ的值． 注意，在求解后還應檢驗三角函數的取值范圍．

七、巧構定值妙求最值

例7已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求a的最大值．

解析：因為a2＋＝1，所以2a2＋b2＝2，

a＝≤·＝·＝，當且僅當2a2＝1＋b2，

a2＋

＝1， 即a

＝，

b

＝ 時取“＝”，故a的最大值是．

點評：若對a直接使用均值不等式，則有a≤，顯然a2＋b2不是定值，不易求解. 觀察條件a2＋＝1，可得2a2＋b2＝2，于是需要對a2與b2的系數進行配湊，構造出2a2＋b2的形式，利用定值求解. 同學們在應用均值不等式求最值時，應使所構式子的和或積為定值，而此時往往需要運用拆項、添項、變系數等變形技巧．

八、巧構圖形妙證三角函數

例8設α∈0

，，試證明：sinα＜α＜tanα．

證明：在平面直角坐標系中作單位圓（如圖1），即r＝OA＝1. 設角α以x軸的正半軸為始邊，終邊與單位圓相交于P．

[y][P][T][x][A][M][O][α]

圖1

S△OPA＝OA·MP＝MP，

S扇OPA＝r2·α＝α，

S△OAT＝OA·AT＝AT，

又因為S△OPA＜S扇OPA＜S△OAT，

所以MP＜α＜AT，

由三角函數線可知sinα＝MP，tanα＝AT，故sinα＜α＜tanα.

點評：本題首先構造了適當的圖形，接著利用三角形與扇形的面積關系構造出不等關系，最后把有向線段轉化為單位圓中的三角函數線，從而使命題得證． 由于直觀的圖形有助于思考，所以很多問題在構造出適當的圖形后，就能化難為易，化繁為簡．