等腰三角形的按角分類(lèi)討論

等腰三角形有一個(gè)最基本的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”.這個(gè)性質(zhì)可以將等腰三角形中關(guān)于邊的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的條件，在解題時(shí)應(yīng)用極為廣泛.而有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題常需按邊或按角分情況討論，應(yīng)用“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)，我們可以側(cè)重于研究按角分類(lèi)討論的情況.下面舉兩例按角分類(lèi)的問(wèn)題，供同學(xué)們參考.

例1（根據(jù)2007年福建省中考試題改編）等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度數(shù)．

分析：由于本題中并未說(shuō)明哪個(gè)角是頂角，所以需分情況討論.我們可以先用含∠B的代數(shù)式表示∠A為“2∠B－50°”，用內(nèi)角和定理，再求出∠C，然后再分別求出三種情況下∠B的度數(shù)．

解：設(shè)∠B為x°.

∵∠A比∠B的2倍少50°，∴∠A為（2x－50）°.

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C=180°－（2x－50）°－x°=230°－（3x）°.

當(dāng)AB=AC時(shí)（如圖1），此時(shí)有∠B=∠C，得

x=230－3x，解得x=57.5.

當(dāng)AB=BC時(shí)（如圖2），此時(shí)有∠A=∠C，得

2x－50=230－3x，得x=56.

當(dāng)AC=BC時(shí)（如圖3），此時(shí)有∠A=∠B，得

2x－50=x，得x=50.

綜上所述，∠B為57.5°或56°或50°．

點(diǎn)評(píng)：本題要求的是等腰三角形的內(nèi)角，這類(lèi)問(wèn)題通常要分類(lèi)討論．怎樣討論是解題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．本題巧妙地采用設(shè)未知數(shù)的方法，使得三個(gè)角都能用含未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，再根據(jù)三角形頂角、底角的情況進(jìn)行分類(lèi)，分別列出方程求解．

例2（根據(jù)2007年無(wú)錫市中考試題改編）△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系．

分析：本題中由于只知道過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，所以需要對(duì)兩個(gè)三角形分別分類(lèi)討論，然后根據(jù)題目的具體要求，把不合題意的排除掉.

解：設(shè)∠ABC=y°，∠C=x°，過(guò)點(diǎn)B的直線交邊AC于D．在△DBC中，

1.若∠C是△BDC的頂角，如圖４，則∠ADB＞90°，

∠CBD=∠CDB=1/2（180°-x°）=90°-1/2x°，∴∠A=180°-x°-y°．

此時(shí)只能有∠A=∠ABD，則180-x-y=y-90-1/2x，

即3x+4y=540，∴∠ABC=135°-3/4∠C．

2.若∠C是△BDC的底角，則有兩種情況．

（1）如圖５，當(dāng)DB=DC時(shí)，∠DBC=∠C=x°，△ABD中，∠ADB=（2x）°，∠ABD=y°-x°．

①若AB=AD，得2x=y-x，此時(shí)有y=3x，∴∠ABC=3∠C.

②若AB=BD，得180-x-y=2x，此時(shí)3x+y=180，

∴∠ABC=180°-3∠C．

③若AD=BD，得180-x-y=y-x，此時(shí)y=90°，

∴∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角．

（2）如圖６，當(dāng)BD=BC時(shí)，∠BDC=∠C=x°，

∠ADB=180°-x°＞90°，此時(shí)只能有AD=BD， 從而∠A

=∠ABD=1/2∠C＜∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾．

∴當(dāng)∠C是底角時(shí)，BD=BC不成立．

點(diǎn)評(píng)：在解本題過(guò)程中，有的同學(xué)因分類(lèi)不全導(dǎo)致漏解；有的同學(xué)沒(méi)能根據(jù)題意得出有兩種情形∠ADB＞90°的結(jié)論，因而導(dǎo)致分類(lèi)過(guò)多，出現(xiàn)錯(cuò)誤；甚至也有同學(xué)因情況太多而沒(méi)耐心做下去.分類(lèi)討論時(shí)，要注意考慮全面，同時(shí)應(yīng)緊扣題意舍棄不合要求的情形.