奇異值數字水印算法的數學基礎

[摘要]本文提出了一種利用奇異值分解的圖像數字水印算法，針對的是在水印提取之前遭受了未知幾何攻擊的圖像。實驗結果表明，本文的算法對放大、旋轉等幾何攻擊以及對剪切，噪聲攻擊是穩健的，而且此水印在受到了上述的幾何攻擊后仍能夠被有效的提取。

[關鍵詞]奇異值分解 數字水印 幾何攻擊

隨著多媒體技術和網絡技術的迅猛發展及廣泛應用，對數字媒體的保護已經成為一個迫在眉睫的問題，尤其是對數字圖像的保護。由于傳統加密方法對多媒體內容保護能力有限，因此一種新的保護途徑應運而生，即數字水印技術。雖然已經出現了許多對常見的信號處理穩健的數字水印算法，但是非常微小的幾何攻擊都能夠使這些水印失效。奇異值分解的圖像數字水印算法對放大、旋轉等幾何攻擊以及對剪切攻擊是穩健的是穩健的。

數字圖像的奇異值分解。數值分析中的奇異值分解是一種將矩陣對角化的數值算法。在圖像處理中應用的主要理論背景是：(1)圖像奇異值的穩定性非常好，當圖像被施加小的擾動時，圖像的奇異值不會有大的變化；(2)奇異值所表現的是圖像的代數特性。

從線性代數的角度看，一幅數字圖像可以看成是一個非負矩陣。用來表示這樣一個圖像矩陣，其中表示實數域。矩陣的奇異值分解如下：

其中和都是正交矩陣，，且是或的奇異值，其中是的秩，是或特征值的平方根。分別是的左奇異向量和右奇異向量。因為

；

所以的列向量是的特征向量，的列向量是的列向量，并且它們所對應的特征值都是的奇異值的平方。

基于的圖像塊分類。根據的特性，人眼對不同類型圖像區域的敏感程度依次為:對圖像平滑區域的噪聲最敏感;對圖像的邊緣信息較為敏感；對紋理區域的噪聲不敏感。根據這個特性，我們希望在圖像的紋理區域進行水印的嵌入。文獻基于圖像塊的灰度均值、熵和方差等統計特性將圖像塊進行劃分。

圖像處理與信息論的相關理論表明，方差反應各像素灰度值與圖像平均灰度值的總的離散程度，而熵則表征圖像所含信息的多少，圖像紋理區域熵值較大而方差較小。在這里，我們引入，其中表示熵，為標準差，顯然熵值越大，方差越小，值越大。通過引入值，我們在對圖像的各分塊進行比較時，就不必對方差和熵值分別進行比較，而統一對值大小比較即可，這樣對于各分塊的比較變得簡單明了，同時也利于程序的編寫。

水印的嵌入與提取。算法步驟如下：水印嵌入：首先將圖像進行分塊，計算每塊圖像的值，選取值最大的塊，進行奇異值分解，將水印嵌入到進行奇異值分解的圖像塊中。方法如下：水印是由服從高斯分布的實數序列組成，其中相互獨立，為水印的長度。挑選出除了以外的個數值最大的奇異值組成的單調遞減序列，之所以排除是因為遠遠大于其它的奇異值。對的改變會導致圖像質量的下降。根據將水印嵌入到中，得到一個嵌入后的奇異值序列。其中是一個比例參數，用來調節改變的程度，從而控制嵌入水印后的圖像質量。將回代入中，生成，然后再就得到嵌入水印后的圖像塊。由于調整后的奇異值序列可能不符合單調遞減的順序，而在奇異值分解后奇異值總是遞減排列的，所以根據的遞減順序對中對應的排序，生成序列。用它來標明的奇異值及其原始順序。用它來標明的奇異值及其原始順序。

提取水印時需要：嵌入水印的圖像(可能已經遭受到攻擊)、參考水印、奇異值序列和比例參數。

將進行分塊，確定原先嵌入水印的圖像塊，設為，并從中提取出可能已遭到破壞的水印并進行檢測：

(1)進行奇異值分解，得到按遞減順序排列的奇異值向量。

(2)將按單調遞減順序排列，還原成。

(3)根據和，使中的奇異值與的相應元素對齊，并從中提取出奇異值序列。

(4)提取水印。其中

(5)計算標準相關系數：

利用來測量與相似程度。

實驗結果：我們使用256級灰度圖像Lena.bmp為例，來測試本水印算法對各種幾何攻擊的穩健程度。Lena.bmp的大小為256€?56，先將圖像進行64€?4分塊，再嵌入水印。本文只給出算法對放大、旋轉等幾何攻擊以及對剪切攻擊的結果。

分塊的大小為64€?4，取水印長度N=50。實驗結果如下：原圖像（圖1）。

未攻擊時，在原圖像的下半部分加入水印，=0.3，圖像為（圖2）。

當=0.3時，峰值信噪比psnr= 46.9693；

從上面各幅圖像中提取的水印并給出相關系數r=0.9991

下面我們對嵌入水印的圖像施加各種攻擊

旋轉90度，=0.3，相關系數r=0.9991

橫向拉伸2倍，=0.3，相關系數r=0.9991

縱向拉伸2倍，=0.3，相關系數r=0.9991

可見本文的算法對常見的幾何攻擊是非常穩健的。經過幾何攻擊后的圖像可以非常穩健的提取水印。

現在我們施加其他攻擊：

裁減左半幅圖像，=0.3，從中提取的水印與原始水印的相關系數r=0.9991

裁減下半幅圖像，=0.3，從中提取的水印與原始水印的相關系數r=0

實驗結果表明，本文算法對剪切有一定的抵抗性，關鍵是剪切的位置，若把嵌入水印的圖像塊剪切掉，那不能提取出水印；若沒有剪切掉嵌入水印的塊，則可以非常穩定的提取出水印。

本文提出了一種能夠抵抗一般幾何攻擊的數字水印算法，由服從高斯分布的隨機數組成的水印被嵌入到數字圖像的奇異值之上，并考慮到人類視覺系統特性的影響，引入了基于統計量熵值和方差的參數T，作為我們劃分不同種類塊的標準。實驗結果表明本水印算法對這些幾何攻擊具有很好的穩定性。

參考文獻:

[1]劉瑞禎，譚鐵牛.基于奇異值分解的數字圖像水印方法[J].電子學報，2001，29(2):pp.168~171.

[2][美]G..H.戈盧布C.F范洛恩[J].《矩陣計算》，8.18.6.

[3]阮秋奇.數字圖像處理學[M].電子工業出版社.

作者單位:姜學思、韓秀莉，山東大學威海分校電教中心

劉寧，煙臺汽車工程職業學院電子工程科

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