論公理化方法在物理體系中的應用

公理化方法是數學中的一個很重要的方法，準確地認識公理化方法，不僅對于數學這門學科的發展有很重要的影響，而且還對其他自然科學學科的建設起重要作用。本文將從公理化方法的發展歷史展開闡述，對其特征進行說明，并簡單論述公理化方法在物理體系中的應用。

公理化方法的發展及其特征

著名數學家歐多克斯處理不可公度比時，建立了以公理為依據的演繹法。亞里斯多德集前人之大成，把其中的幾何術語揚棄，保留下單純的邏輯關系。在他的《分析篇》中，總結、概括了邏輯學的豐富資料，在歷史上第一次對公理化方法作了論述。歐幾里德以亞里斯多德的公理化方法為工具，在希波克拉茨、歐多克斯、列昂、費奇等許多著名科學家已做過的系統化、演繹化整理工作的基礎上，總結了人類長期以來積累的大量幾何知識，于公元前300年完成了他的名著《幾何原本》。《幾何原本》的誕生，標志著真正的實質性公理化方法的創定，從而為數學的發展樹立了一座不朽的豐碑。瑞士幾何學家蘭貝爾特沒有象薩開利那樣囿于平行公理的真實性的頑固想法，而是大膽地對平行公理的可證明性提出了懷疑，這是觀念上的一個重要突破。馬得堡的須外卡爾特和托里努斯也通過獨立的研究提出了這樣的看法，并且達到了非歐幾何的一些粗略的觀念。

一直到十九世紀，高斯、羅巴切夫斯基、倉耶等許多杰出的數學家作了大量的推導工作，發現銳角假設沒有導出矛盾，于是采用銳角假設的加羅巴切夫斯基幾何系統就產生了。接著到了1954年又發現了鈍角假設也成立的黎曼幾何。非歐幾何的建立標志著實質公理學向形式公理學過渡，表明人們的認識已從直觀空間上升到抽象空間。希爾伯特在此基礎上，把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關重要的內容加以擯棄，著眼于對象之間的聯系，強調了邏輯推理，第一次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹的形式化方法發展史上的一個里程碑，從此開創了現代公理法思想的新階段。

協調性，獨立性和完備性構成了公理系統的邏輯特征。

1.公理系統的無矛盾性(協調性):希爾伯特用形式公理法研究初等幾何的邏輯結構時，首先提出了公理系統的協調性，即無矛盾性。也就是基于他的公理系統作邏輯推演時是不會推出互相矛盾的命題來。否則這個公理系統就不能反映“真”、“假”因而也就沒有意義了。

2.公理系統的獨立性：在一個公理系統中，若一個公理A，不能從其他公理推出則稱A對于其他公理是獨立的。

3.公理系統的完備性：一個公理系統除了滿足協調性，獨立性外還應該是完備的。即從公理系統出發借助于邏輯規則可以推演出一個數學分支的全部真命題。那么我們稱此公理系統是完備的。

公理化方法在物理學中的借鑒

在公理化方法借鑒到物理學中的例子中，牛頓的《自然哲學的數學原理》是經典物理借鑒公理化方法的典型例子。牛頓在《原理》一書中：仿照歐幾里德的方法，首先提出了定義、注釋和動力學原理。以最為經典的牛頓力學中的牛頓運動三大定律為例，公理化方法(準確點說應該是實質性公理化方法)在其中的應用是十分明顯的。初始的基本概念即為：空間、時間、質量和力；而牛頓三定律和萬有引力定律在公理化系統中可看作是理論出發點的基本公理。其中，三大定律分別為：(1)物體都要保持其運動狀態不變，直到外力迫使它改變為止。牛頓第一定律，又稱“慣性定律”。(2)物體運動的加速度與質量成反比，與所受外力成正比。牛頓第二定律，在國際單位制中的數學形式是：

(3)若甲物體以一力作用于乙物體，則乙物體同時以一力作用于甲物體，二力大小相等，方向相反，分別作用的甲乙兩物體上，作用線在一條直線上。功的概念為:力在位移方向的投影與力的積或位移在力方向的投影與位移的積。變力作功的數學表達式是:

我們在功的基本概念中加人牛頓第二定律就可以得到推論-功能領域中的基本原理。

是物體所受合外力

動能原理：合外力對物體所做的功等于物體動能的增量。將動能原理應用到系統中，可得到動能原理：

利用此二原理就可以解決動能領域的動力學問題。

此外，公理化方法在物理學的其它領域里也有很廣泛的應用，比如熱力學也可以建成一個公理系統。作為一個公理化的框架，熱力學是建立在能量、孤立系統等基本概念和一系列初始原理基礎上的。這些初始原理就是孤立系統存在熱力學平衡態假定、熱力學第零定律、熱力學三定律等。由此我們定義了重要的溫度概念，功、熱量、內能的概念和火商函數，把內能、火商和由溫度概念引進的物態方程，聯合起來構成了一個均勻物質的全部平衡性質的基礎，然后由這三個熱力學函數出發作數學推演，可得到物質的各種平衡性質的相互聯系。

由此可見，公理化方法在物理學上有著非常廣泛的應用，盡管它有著一些缺陷與不足，如公理化方法本身的不完備性，同時物理學應用數學模型只是一種“近似的模寫”，有著一定的適用范圍和局限性。只有當公理化方法可以與實驗觀察到的現象聯系起來并得到確證時，才具有科學的意義。也就是說物理學理論體系中的公理和推論最終都要用實踐來檢驗。但是其在經典物理以及熱學、電磁學、量子力學等領域內的重要性是十分顯見的。

參考文獻:

[1]王仲春，孫名符等.數學思維與數學方法論[M].北京：高等教育出版社，1989.

[2]李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1988.

[4]王澤農.物理學中的公理化方法[J].南京師大學報(自然科學版)，1996.4.

[5]康勇.略論公理化體系[J].職大學報，2002.2.

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