例談數(shù)學(xué)問題解決的過程訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教育在于使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并能借助這些素養(yǎng)，來解決他們在生活和工作中遇到的數(shù)學(xué)問題，也就是要讓學(xué)生運用“數(shù)學(xué)化”的思維習(xí)慣去描述、分析、解決問題。教師在具體的教學(xué)中，應(yīng)收集并提供一些源于實際的學(xué)科知識素材，創(chuàng)設(shè)一定的問題的情境，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光，從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并探索出解問題的有效方法和策略，這樣才能真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價值。

對學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是一個循序漸進(jìn)的過程。依據(jù)學(xué)生解決問題的過程來進(jìn)行分解或整合訓(xùn)練，是較為有效的訓(xùn)練方式。布朗斯福特和斯特恩的五步問題解決過程包括：問題識別、問題表征、策略選擇、策略應(yīng)用、結(jié)果評價：而著名心理學(xué)家斯騰伯格提出的問題解決過程包括六個步驟：問題的確認(rèn)、問題的定義、問題解決策略的形成、問題的表征、資源的分配以及監(jiān)控和評估。筆者認(rèn)為，小學(xué)生問題解決的過程可以具體表達(dá)為這幾步：數(shù)學(xué)問題的識別、信息的收集和整理、解決方法和策略的尋找、解決過程的正確表達(dá)、解決問題的反思和評價。

筆者在對本市的一些小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，由于教師只是籠統(tǒng)地關(guān)注了題目是否做對，而沒有在教學(xué)中對解決問題的過程進(jìn)行比較細(xì)致的專項訓(xùn)練，使得學(xué)生解決實際問題的能力提高不快。事實上，教師在教學(xué)過程中，特別是在解決實際問題的教學(xué)中，要根據(jù)不同年段教材的特點，根據(jù)不同發(fā)展時期學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，有意識地對學(xué)生進(jìn)行單項或綜合訓(xùn)練，從而真正提高學(xué)生解決實際問題的能力。

一、數(shù)學(xué)問題的識別

數(shù)學(xué)問題的識別是指學(xué)生能透過具體情景。意識到自己正面臨著一個數(shù)學(xué)問題。只有意識到數(shù)學(xué)問題的存在、是什么數(shù)學(xué)問題，才有可能去著手解決問題，這是解決問題的起點，也是解決問題的一個十分重要的步驟。同時，我們還要對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的識別，識別出各類問題的特征，為后續(xù)解決問題作好最初的準(zhǔn)備。

例1 體育運動中心新建一個長方形的游泳池，游泳池的長50米，寬20米，深1.8米。問：(1)這個游泳池的占地面積是多少?(2)如果給游泳池內(nèi)壁貼邊長為4分米的瓷磚，大約需要多少塊?(3)小明測了一下，水面距池口有20厘米，池中大約放了多少水?(六年級)

從題目來看，除了第一個問題是具體的數(shù)學(xué)問題外，后面兩個問題都是生活問題，這就要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光來分析，善于將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。第二個問題實際上和求長方體的表面積有關(guān)，因為貼瓷磚的是游泳池，所以根據(jù)生活常識可以知道，所貼的應(yīng)該是這個長方體除了上面以外的五個面：第三個問題與求長方體的體積有關(guān)。只有正確識別了問題，才能合理思考和解答。

問題意識不僅體現(xiàn)了個體思維品質(zhì)的活躍性和深刻性，也反映了思維的獨立性和創(chuàng)造性。強(qiáng)烈的問題意識，作為思維的動力，可以促使學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，乃至進(jìn)行新的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要針對學(xué)生的問題意識進(jìn)行經(jīng)常性的訓(xùn)練，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來看待生活中的一些問題和現(xiàn)象，同時能將很多生活中的實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題。

二、信息的收集和整理

當(dāng)學(xué)生一旦意識到需要解決的問題后，首先要知道擁有哪些信息，再根據(jù)問題來分析哪些是解決問題的有效信息。實際上，學(xué)生收集信息和整理信息的過程。也就是學(xué)生思考問題、分析問題的過程。教師要有意識地讓學(xué)生找找問題中哪些是相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，想想這些相關(guān)聯(lián)的數(shù)量可以解決什么問題，或者根據(jù)問題思考，運用哪些相關(guān)聯(lián)的數(shù)量可以解答這個問題。

數(shù)學(xué)信息收集和整理的過程也是學(xué)生思考、整理、加工、排除干擾因素的過程。學(xué)生通過分析、綜合、判斷、推理等，可以為有序地解決問題做好充分的準(zhǔn)備。

例2 小亮每天的生活很有規(guī)律。左圖是他每天上床睡覺和起床的時間。他每天大約有幾分之幾的時間處于睡眠狀態(tài)?(五年級)

從文字?jǐn)⑹鲋校荒芸匆娦枰鉀Q的問題，而看不見解決問題應(yīng)該具備的條件，但從配套的圖中可以發(fā)現(xiàn)，小亮每天睡覺的時間是晚上九時到次日早晨六時，利用這一條件可以解決小亮睡眠的時間。題目中雖然沒有說明一天有24時，但這一條件學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗應(yīng)該知道。這樣，通過對題中相關(guān)信息的收集和整理，通過利用日常生活的經(jīng)驗，來完善解決問題所需要的相關(guān)條件，問題就迎刃而解了。

教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題來確定需要哪些信息。數(shù)學(xué)信息收集的途徑很多，可以通過從文字?jǐn)⑹鲋衼硎占梢詮呐涮讏D例中來尋找，可以從題中提供的圖表中摘錄，也可以借助生活經(jīng)驗來補(bǔ)充，等等。

例3 從甲地到乙地，上坡路占2/7，平坦路占4/7，其余的是下坡路。一輛汽車在甲乙兩地往返一次，共行下坡路42千米。甲乙兩地的路程是多少千米?(六年級)

題中已經(jīng)知道下坡路在往返的過程中一共行了42千米，要求甲乙兩地的路程，可以利用已知的路程和它所對應(yīng)的分率來解答。畫出簡易草圖，我們很容易看出，汽車從甲地到乙地時，下坡路行了1/7，返回時，原來的上坡路就是下坡路，也就是返回時下坡路行了2/7，這樣，通過對信息的整理，很容易就找到了對應(yīng)關(guān)系，問題的解答就容易了。

教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的整理方法，讓學(xué)生能根據(jù)具體的問題選擇不同整理信息的方法(如：摘錄條件，給條件排序，列表，畫草圖或線段圖，等等)，并在整理信息的同時分析數(shù)量之間的關(guān)系。

三、解決方法和策略的尋找

問題解決的方法和策略是多種多樣的。不同的問題，會因為問題的內(nèi)容和性質(zhì)的不同，出現(xiàn)不同的方法和策略；同一個問題，也會因為學(xué)生知識背景的不同、智能發(fā)展的差異，出現(xiàn)各種不同的解決問題的方法和策略。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體的問題進(jìn)行全面分析，只有把握了具體情景中的問題，才能選擇合理的、優(yōu)化的解決問題的方法和策略。

例4 旅行社有甲、乙兩種面包車，甲車可乘12人，每輛租金為120元；乙車可乘18人，每輛租金160元。旅行團(tuán)有58人，怎樣租車最省錢?(四年級)

了解了這道題的信息后，我們發(fā)現(xiàn)，依靠日常的數(shù)量之間的關(guān)系很難解決，必須進(jìn)行分析，來確定解決問題的方法。要使得用的錢最省，無非要考慮兩個因素：一是要盡可能租單價低的車輛，二是要盡可能使每輛車坐最多的人。從這兩點深入研究，我們可以知道，乙車的單價比較便宜，所以應(yīng)盡可能租用乙車，根據(jù)總?cè)藬?shù)是58人。可以知道乙最多租4輛，這樣的話，共需160×4=640元；如果租3輛乙車，余下的人數(shù)還需1輛甲車，共需160×3+120=600元；如果乙車租2輛，余下的人數(shù)還要租2輛甲車，共需160×2+120×2=560元：如果乙車租1輛，余下的人數(shù)還要租4輛甲車，共需160+120×4=640元；如果全租甲車，則需要5輛甲車，共需120×5=600元。因此，租2輛甲車和2輛乙車最省錢。

從這道題的思考過程來看，我們首先要確定解答問題的方向和突破口，確定從哪里人手最容易把握，然后在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行列舉，再對各種方案進(jìn)行比較，篩選出比較好的解決問題的方案。

教師在實際教學(xué)中要給學(xué)生滲透一些數(shù)學(xué)思想，如：符號思想、化歸思想、對應(yīng)思想、模型思想、轉(zhuǎn)換思想等等；同時也要教給學(xué)生一些數(shù)學(xué)方法，如：觀察與實驗、演繹與歸納、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、類比與映射、猜想與聯(lián)想等等。鼓勵學(xué)生從多角度分析、思考問題，尋找不同的解題方法和策略，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

四、解決過程的正確表達(dá)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“解決問題”教學(xué)目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)：要讓學(xué)生“能表達(dá)解決問題的過程。并嘗試解釋所得的結(jié)果”。德國也在數(shù)學(xué)教學(xué)的分類學(xué)習(xí)目標(biāo)中提出：“運用數(shù)學(xué)方法表述某些客觀環(huán)境現(xiàn)象的能力，即認(rèn)識、發(fā)現(xiàn)客觀外界中事物的數(shù)學(xué)關(guān)系。并用數(shù)學(xué)語言表述這種關(guān)系。”由此可見，能用簡單的數(shù)學(xué)語言有層次地表達(dá)思考問題的過程與結(jié)果，是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的一個重要方面。

很多學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時，解題格式不規(guī)范，很少有必要的文字說明，或?qū)Τ霈F(xiàn)的數(shù)學(xué)量符號不作交代，等等，都會導(dǎo)致解題過程思路混亂和錯誤。為此，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用簡明、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來表述有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

例5 下表的粗線框中兩個數(shù)的和是3。在表中移動這個框。可以使每次框出的兩個數(shù)的和各不相同。

(1)一共可以得到多少個不同的和?

(2)如果每次框出3個數(shù)，一共可以得到多少個不同的和?

(3)如果每次框出4個數(shù)、5個數(shù)呢?再試著框一框。看看分別能得到多少個不同的和?

(4)你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(五年級)

十個數(shù)，每次框出2個數(shù)從左往右依次移動粗線框，可以移動8次，得到(8+1)個不同的和。

十個數(shù)。每次框出3個數(shù)從左往右依次移動粗線框，可以移動7次，得到(7+1)個不同的和。

十個數(shù)，每次框出4個數(shù)從左往右依次移動粗線框，可以移動6次，得到(6+1)個不同的和。

用文字表達(dá)的話，既煩瑣也不能很快看出規(guī)律。如果用表格來表達(dá)的話，通過比較能很快發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

在解答問題的過程中，有時不是都能用算式等來表示出問題思考的過程和結(jié)果的，有時也可能需要借助列表、畫圖、列舉、文字?jǐn)⑹龅确绞絹肀磉_(dá)的，只要能夠清晰、有序，只要有利于分析、解釋，就是合理的表達(dá)。

五、解決問題的反思和評價

解決問題的反思和評價作為解決問題過程的一個重要組成部分，是學(xué)生對解決問題的過程和結(jié)果的把握和關(guān)注，能確保解決問題的過程的合理、有效。只有具備了解決問題的反思和評價能力，學(xué)生才能及時發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤或偏差，才能確保成功解決問題。

例6 陳師傅要把長18厘米，寬13厘米，高6厘米的長方體木塊鋸成棱長3厘米的正方體木塊。他能鋸多少塊這樣的正方體? (六年級)

從題目看，要求大長方體可以分割成多少個小正方體，學(xué)生一般采用的方法是用大體積除以小體積。可以這樣算：

18×13×6÷(3×3×3)=52(個)

如果這樣計算，所得到的結(jié)果是不正確的。因為寬邊是13厘米，不能整除，也就是余下的部分只能浪費，所以用求大體積里面包含幾個小體積的方法，得不到正確的答案。解題時如果發(fā)現(xiàn)前面所確定的解題思路不當(dāng)或者不簡便，應(yīng)及時修正，以減少解題過程中的失誤，使問題得到順利解決。

考慮到如果要分割則必須整除，那么可以思考每條棱可以分割成幾個3厘米，再求可以分割成多少個小體積。列式解答為：

18÷3=6(個)

13÷3=4(個)……1(厘米)

6÷3=2(個)

6×4×2=48(個)

如果僅僅考慮解法的話。兩種方法都是解決這類問題的方法，很難說哪種方法更好。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在選擇一種解法時，還可以考慮一下另一種解法，用另一種方法來檢驗解答問題的準(zhǔn)確性。發(fā)現(xiàn)兩種解答結(jié)果出現(xiàn)不同時，一定要反思解答過程是否忽略了生活實際和其他因素，通過不斷調(diào)整自己的思路，使問題得到正確解答。