含微缺陷各向異性復合材料中的Ｊ_ｋ積分和Ｍ積分

摘 要：對于含裂紋、孔洞、夾雜等各種微缺陷的平面各向異性復合材料，通過Bueckner功共軛積分的路徑無關性和漸進特性，給出了Buecknet積分在這類材料申的解析表達式，并引入不同的輔助位移應力場，證明了功共軛積分與J_k積分和M積分存在簡單的2倍關系，由此獲得了含微缺陷各向異性材料中J_k積分和M積分的顯式表達式，結果表明：當各個缺陷上不受任何外力作用時，對于沿包含所有微缺陷的閉合積分路徑，J_k積分總是為0，而M積分則取決于材料常數、外加機械載荷、具體缺陷情況等所有斷裂損傷因素，此項研究有望為描述微缺陷損傷的M積分方法提供理論基礎。

關鍵詞：復合材料；各向異性材料；微缺陷；Bueckner積分；J_k積分；M積分

中圖分類號：O346.1 文獻標志碼：A 文章編號：0253-987X(2008)01-0060-05

路徑無關積分在斷裂力學中具有重要的應用價值，國內外學者對此做了大量的研究工作，例如：以Eshelby能量矩理論為基礎，文獻[1]提出了著名的J積分，并指出／積分等同于含裂紋固體總能量的負梯度，它表征了材料斷裂的主要特性；文獻[2－3]分別提出了J_k、L和M積分的概念；文獻[4]將這些概念與能量釋放率相聯系；文獻[5]研究了M積分和Bueckner功共軛積分的關系。指出Bueckner積分是更為普遍的守恒積分，這些工作大大促進了斷裂力學的發展，但是，在以往的公開文獻中，關于路徑無關積分的大部分工作都僅僅局限于單裂紋問題，很少有學者對各向異性材料含多個微缺陷時的路徑無關積分進行系統的分析討論，而對于各向異性復合材料，其內部往往含有諸如裂紋、孔洞、夾雜等各種微缺陷，本文將從各向異性材料勢函理論出發，基于微缺陷問題的勢函數特征級數展開，給出Bueckner功共軛積分的顯式表達式，并通過引人不同的輔助位移應力場時Bueckner積分與J_k積分和M積分存在的固有關系，得到含微缺陷各向異性復合材料中J_k積分和M積分的顯式表達式。

1 Bueckner功共軛積分

考慮平面應變問題，由Lekhnitskii理論，各向異性彈性材料中的應力和位移分量可以寫成如下形式

注意，式(6)和式(7)中j=1，2，且對j不求和，將式(6)和式(7)代入式(5)和式(4)，即可得到含微缺陷各向異性材料的Bueckner積分，但正如文獻[8-9]所指出的，求解Bueckner積分的顯函數表達式最困難的是在式(5)中存在2個不同的復變量Z₁=x+u₁y和z_z=x+u₂y，當將任意2對復勢函數代入式(5)再代入式(4)時，2個復變量是耦合在一起的，此時不得不采用復雜的變量分離方法。

基于Bueekner積分的路徑無關性及漸進特征，我們將給出一個簡單的方法，無需涉及復雜的變量(如缺陷的大小、形狀、密度、分布等)確定。

4 結 論

(1)基于Bueckner功共軛積分路徑的無關性及漸進特性，給出了包含裂紋、孔洞、夾雜等微缺陷的各向異性材料的Bueckner積分解析表達式，結果表明Bueckner積分值取決于各向異性材料中復勢的級數展開系數。

(2)在Bueckner積分中，通過選取真實物理場為。場，選取不同盧場為輔助場，可使J_k積分和M積分與Bueckner積分存在2倍關系，通過此關系，可以進一步得到含微缺陷各向異性材料的了。積分和M積分的顯式表達式。

(3)解析結果表明：當各個缺陷上不受任何作用力時，沿包含所有微缺陷的閉合曲線積分路徑，J_k積分矢量的2個分量J₁和J₂始終為0。

(4)當積分路徑為包含所有微缺陷的閉合曲線時，M積分取決于材料常數、外加載荷和缺陷特征(如類型、形狀、密度)等，這意味著，M積分中包含了影響各向異性材料斷裂損傷的所有因素，因而有必要將M積分作為一種描述微缺陷損傷的新的理論方法加以進一步研究。

(編輯 葛趙青)