改進的奇異攝動自適應移動網格方法

摘要：用等分弧長函數來控制網格剖分，用迎風有限差分格式來求解一類奇異攝動兩點邊值問題的自適應算法。本文用了的數值試驗證明了算法的可行性和高效性。

關鍵詞:奇異攝動；自適應網格；迎風有限差分格式；等分原則

中圖分類號：O241文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)06-10ppp-0c

A Improved Adaptive Grid Method for a Singularly Perturbed Problem

LI Li

(Information department of Hunan business college， Changsha 410205，China)

Abstract: In this paper， the discrete solution are generated by an upwind finite difference scheme and the grid is formed by equidistributing a monitor function based on arc-length. A improved numerical experiment proved that the algorithm is feasible and efficient.

Key words: singular perturbation problems; adaptive mesh; upwind finite difference; equidistribution principle.

1 引言

近年來，研究帶邊界層對流占優的對流擴散問題移動網格算法收斂性分析問題的網格構造主要有兩種：特殊網格（如B-type meshes， S-type meshes）、自適應網格。對比之下，在自適應網格方面的工作甚少。

我們考慮如下奇異攝動的兩點邊值問題的數值近似解法：

這里0<ε<<1，ε是一個很小的正的參數。本文考慮的是更特殊的情形，即p(x)=1。

對于(1)形式的對流擴散方程問題，我們已有一些自適應網格方面的結論。這些都是從控制函數的等分上所得到的結果[1，4，5，6]。Qiu， Sloan 和Tang[6]研究基于半離散方法的收斂速度問題，這種方法指出精確解被應用于控制函數中。這就使得分析變得簡化，并且能夠在解區間上給出一個清晰的網格剖分結構。他們證明了對于任意給定的γ∈[0，1]，總存在一個不依賴于ε和N的正常數C(γ)，使得

其中N是剖分節點的總數，并且足夠大，ll03.tif 是數值近似值。本文的主要目的是用一種改進的數值試驗方法證明利用o(N-1lnN)替代（2）式的右端從而提高結論（2）的一致收斂性的可行性。其改進之處在于剖分節點構造上的工作有了大大的簡化。

2 問題描述

我們考慮的是一種特殊的奇異攝動兩點邊值問題的數值近似解法。方程如下所示：

其中ε是一個很小的正數，且0<ε<<1。令[0，1]上一個任意的剖分：ΩN={xj|x0

其中所用到的算子如下面定義：

在 [0，1]上，數值網格由等分弧長函數M(x)=??1+(u'(x))2給出，并且產生一個映射x=x(ξ)：

其中L是u在[0，1]上的弧長。這種方法叫做半離散方法。在這篇文章中我們運用數學試驗討論這種數值方法的誤差分析等。

在論文中，C代表一個普通的獨立于ε以及網格剖分的常數，并且在不同的地方可以取不同的值。這些工作的主要結果由以下定理給出[7]。

定理1令u(x)為（3）的一個精確解，且令ll08.tif為由（6）所定義的網格上的有限差分格式（4）和（5）所得到的，那么存在一個不依賴于ε和N的正常數C，使得：|u(xi)-uNi|≤CN-1lnN，0

3 數值試驗

3.1 求真解表達式?

微分方程

的真解表達式為：ll10.tif

3.2 用迎風格式進行離散?

我們運應迎風格式得到：

此時系數矩陣A以及矩陣B和U分別為：

那么方程（9）化為：

AU=B，

3.3 構造剖分節點

要求出方程的解，關鍵在于構造出剖分節點，從而得到hi。它不同于我們平時一般所采取的方法：平均剖分。它是由一個控制函數（6）來給出。其中ξ是計算坐標，x是物理坐標。這個式子所代表的意義就是：把計算坐標上等分弧長的點映射到物理坐標上，而得到的這些物理坐標上面的點就不一定是等分的了。那么我們如何得到一組合適的剖分節點呢？

以前的做法是將（6）兩端積分，再用一種迭代的方法，通過比較每一步的弧長是否符合等分原則來確定剖分節點。此法可以驗證定理1，但是在實施上很煩瑣。

在這里，我們采用經典的四階Runge-Kutta方法，即對一階微分方程（6）用如下格式進行計算：

其中f(ξ，x)指的是（6）的右端函數。這樣能夠用較以前更加簡潔的算法輕松快捷地算出所要節點，且能夠達到很好的計算效果。

3.4 求近似解

最后用追趕法求得（9）的解，也即離散點的值{uNi}。

4 分析數據

下面給出的是真解與近似解在剖分節點數不同和攝動系數取不同值時的平均誤差。

參考文獻：

[1]G.M.Beckett and J.A.Mackenzie， Convergence analysis of finite difference approximations on equidistributed grids to a singularly perturebed boundary value problem， Appl. Numer. Math.，2000(35):87-109.

[2]N.Kopteva， Maximum norm a posteriori error estimates for a one-dimensional convection-diffusion problem， SIAM J.Numer. anal.，2001(39):423-441.

[3]N.Kopteva， M. Stynes， A robust adaptive method for quisi-linear one-dimensional convection-diffusion

problem， SIAN J. Numer. Anal.，2001(39):1446-1467.

[4]Y.Qiu and D. M. Sloan， Analysis of difference approximations to a singularly perturbed two-point

boundary value problem on an adaptively generated grid， J.Comput. Appl.Math.，1999(101):1-25.

[5]Y.Qiu， D.M.Sloan and T.Tang， Numerical solution of a singularly perturbed two-point boundary value problem using equidistribution: analysis of convergence，J. Comput. Appl.Math.，2000(116):121-143.

[6]陳艷萍.Uniform pointwise convergence for a singularly perturebed problem using arc-length

equidistribution， J. Comput. Appl. Math.， 2003(159):25-34.

[7]李桂成.計算方法[M].北京：電子工業出版社，2005.

收稿日期：2008-01-12

作者簡介：李麗（1981-），女，湖南醴陵人，碩士研究生，助教，研究方向：偏微分方程數值解法及應用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”