歸納、類比與猜想

在小學數學教材中有許多法則、公式等，是按照從特殊到一般的認識規律，通過對特例的觀察、分析、實驗，從而歸納出一般性結論，即歸納法。

類比在數學知識延伸拓展過程中常借助于比較、聯想來啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在歸納知識系統時又可用來串聯不同層次的類似內容，幫助理解和記憶。在解決問題時，無論是對于命題本身或解題方法，都是產生猜測、獲得命題的推廣或引伸的原動力。因此，歸納法和類比法既是數學學習的重要方法，也是數學發現的有效方法。

歸納和類比都屬于合情推理，其結論需要演繹證明。猜想是歸納與類比的成果，它們都包含有猜想的成分，所以猜想本身就是一種合情推理，直截了當一點，合情推理就是猜想。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”因此，合理地設計富有猜想的教學過程，不僅可以很好地組織教學，而且還可以提高學生學習興趣，培養學生的創新能力。

一、歸納法

歸納法是通過對同一類事物的特殊對象的研究而得出一般性結論的方法，也就是由特殊到一般的推理方法。

1．歸納法具有發現真理、探索真理的作用

數學中的許多著名定理都是先運用不完全歸納法發現而后給予證明的。

如德國著名數學家哥德巴赫從3+7=10，3+17=20，13+17=30等算式中觀察出兩個奇素數之和等于一個偶數，他做了進一步的實驗，發現

6=3+3，

8=3+5，

10=3+7=5+5，

12=5+7，

14=3+11=7+7，

16=3+13=5+11，

于是，他得出了：任何一個既不是素數也不是素數平方的偶數(即大于4的偶數)，是兩個奇素數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想，盡管到如今這還是一個猜想，但數學家們在證明這個猜想的過程中，已經發現、發明了許許多多的數學定理，為數學的發展乃至社會的發展作出了巨大的貢獻。

2．歸納法在小學數學教育中具有十分重要的意義

小學數學中幾乎所有的公式、法則和性質都是通過不完全歸納法來認識。因此，教師應該認真學習《數學課程標準》，吃透教材，給學生思維發散的機會，多引導、多啟發、多鼓勵，給學生足夠的時間和空間，讓學生在課堂中逐漸掌握歸納法。如在教學“平均分”時，教師可以給出把若干個蘋果分給若干個同學的問題，讓學生去解決，給學生提供任憑他們想象發揮的時間和空間，然后再歸納出最公平的分法——每人一樣多，從而得出平均分的概念。這不僅培養了學生的發散思維，同時，在這一活動中也讓學生更為深刻地理解和掌握了“平均分”的概念。教師在講解概念、法則、性質、公式和例題時，要讓學生從不同側面、不同角度去聯想和推廣。又如，在教學長方形時，可以讓學生充分發揮他們的想象力，畫出各種形狀不同、放置位置不同的長方形。然后，引導他們歸納得出這些圖形的共同特征：(1)它們都是四邊形；(2)四個角都是直角；(3)對邊相等。這不但培養了學生的發散思維能力，同時還使學生更深刻地認識了長方形。在教學正方形時，學生就不會產生正方形不是長方形的錯誤。

不完全歸納法作為“合情推理”，小學生是很容易接受并掌握的。所以，不完全歸納法在小學數學教學中比比皆是。學生對定義、運算性質(定律)、數的整除性特征等知識的學習，無一不是通過不完全歸納法來理解、掌握的。這一得天獨厚的氛圍，對培養小學生的歸納能力帶來了極大的便利。所以，在小學數學教學中，不完全歸納法被認為是培養小學生創造性思維能力的一項行之有效的重要方法。教師要抓住這一優勢，幫助小學生掌握不完全歸納法。讓學生充分發揮他們的想象力，讓他們自己提出問題，大膽猜想，突破一般思維定勢，敢于猜想。同時，還應該創造條件，多設計一些與上例類似的習題，讓學生進行不完全歸納法的練習，才能使學生在學習過程中逐漸學會應用不完全歸納法去發現規律，設定猜想。

二、類比

類比法就是根據不同的兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們在其他方面也可能相似或相同的推理方法。它是以比較為基礎的一種從特殊到特殊的推理方法。

類比法是由此及彼以及由彼及此的聯想方法，著名數學教育家波利亞指出“類比是一個偉大的引路人”，教師在教學中必須善于引導學生去聯想、類比，才能充分調動學生的想象力，讓他們通過比較去發現、去認識、去掌握知識。培養具有創造能力的人才，就要幫助他們學會歸納和類比。類比具有啟迪思維、提供線索、舉一反三的作用，對發展思維特別是創造性思維十分有利。和歸納一樣，類比在小學數學中也隨處可見。如通過類比，從加法、減法的運算性質(或定律)很容易聯想到乘法、除法的相應的運算性質(或定律)，由除法中各部分之間的關系，容易聯想到分數的基本性質等。

同時，類比法是系統掌握新知識、鞏固舊知識，使新舊知識融會貫通的有效方法。數學的發展是一個不斷地從原有知識向深度和廣度推進的過程，所以，各個系統的知識與知識之間必然存在著相似之處，更何況，許多知識的發展就是類比發現的結果。在實際教學中，教師必須有意識地引導學生注意知識之間的比較，如分數與除法的類比，分式與分數的類比，乘法與加法的類比等。從舊知識去發現新知識，這不僅僅能起到事半功倍的效果，還將會大大提高學生的學習興趣，取得良好的學習效果。

如已知甲校學生數是乙校學生數的百分之四十，甲校女生數是甲校學生數的百分之三十，乙校男生數是乙校學生數的百分之四十二，那么兩校女生總數占兩校學生總數的百分之幾?

【思考】設甲校學生為40，則乙校學生為100，甲校的女生是12，乙校的女生是58，所以兩校女生總數占兩校學生總數的(12+58)÷(40+100)=50％。

總結此類問題的特點是：已知和所求僅僅與百分比有關，而與具體數無關。于是，我們便可以用特殊值來巧求。掌握了這一類問題的特點，我們就掌握了解決這類問題的途徑和方法。那么，在解答下面更難一些的問題時，心中便有數了。

某出版社出版的某種書，今年每冊的成本比去年增加百分之十，但仍然保持原售價，因此每本盈利下降了百分之四十。但今年的發行冊數比去年增加百分之八十，那么今年發行這種書獲得的總盈利比去年增加百分之幾?

教師就可以啟發、引導學生通過聯想、類比來探索結果。

【思考】設去年每本盈利10元，則今年每本盈利6元。又設去年的發行冊數為100冊，則今年的發行冊數是180冊。

因此，今年獲得的總盈利比去年增加了：(6×180-10×100)÷(10×100)=8％。

連設兩個特殊值，使問題得以巧妙地解決，充分體現出類比確實是一個偉大的引路人，類比是發現的基礎，是創新的前提。

三、猜想

數學猜想是指根據某些數學現象而作出的預測性判斷，以及作出這些判斷的思維過程。數學家波利亞指出：“在證明一個數學定理之前，你先得猜想這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合，然后加以類比。你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果，是論證推理，即證明；但這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。”因此，在數學教學中必須重視猜想。學生在課堂上積極、主動地探究，需要猜想來引發。沒有猜想，就不會有探究。徐利治說：“探索性思維中最關鍵的環節是提出一個有希望的合理的猜測。”

猜想是探索性思維的方向，具有定位性、開拓性和創造性，是數學發現與數學證明的前兆。

當前新課程改革課堂教學的主要模式是創設情境，提出猜想(通過歸納或類比)，驗證猜想(一般由合情推理來完成)，深化理解，總結提高。

如在教學3的倍數的特征時，可以通過下面的教學過程來進行。

①創設一個情景(如寫出一些3的倍數的數)；

②觀察分析(獨立探究——小組合作交流，提出猜想)；

③討論猜想(教師引導全班合作，對猜想進行驗證、修正，完善猜想：一個數的各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數)；

④探究猜想的成因(突出歸納推理——合情推理的重要意義)；

⑤小結(教師給出結論，強調猜想的正確性)；

⑥應用；

⑦提高(9的倍數的特征如何?教師引導，尋找3與9的關系，通過類比來引導學生提出猜想)；

⑧驗證猜想(得到9的倍數的特征是：各個數位上的數字之和是9的倍數)；

⑨課堂總結。

學生思維活躍，富于幻想，敢于猜想。但是，受知識、經驗的限制，有時會提出一些幼稚可笑甚至錯誤的想法，這時教師非但不能諷刺打擊，給予抹殺，反而應該加以鼓勵，給予正確引導。讓他們保持思維的積極性，給以他們敢想的勇氣。因為這些看似可笑、錯誤的想法，總是蘊含著孩子們的創造性思維的成果。那些不拘一格的猜想，就是創造性思維的體現。

數學教學活動的實質是數學推理，“合情推理”是小學生特別容易接受的一種推理方式，讓學生形成推理的意識和習慣，這對于培養他們追求真理、實事求是的科學態度具有十分重要的意義。鑒于數學的嚴謹性，必須時適地引導學生對“合情推理”、“猜想”得到的結果給予嚴格說明(證明)的必要性。因為，只有經過合情推理、嚴格論證的結論，才具有真理性，誰也無法否認。而凡是偏離這兩條原則獲得的結論，不管怎樣錯綜復雜、撲朔迷離，終究會被推翻或淘汰。小學生長期在這樣的環境的熏陶下，誠實與正直的優秀品質將會慢慢地養成。