逐步逼近思想在數學解題教學中的應用

根據問題的條件確定解決問題的大致范圍，然后通過不斷改進方法或者排除不可能的情形，逐步縮小問題的解的存在范圍，從而最終獲得問題的結果。這種思想稱之為逐步逼近思想。本文主要談談逐步逼近思想在小學數學解題教學中的具體應用。

一、枚舉篩選與逐步逼近

一個問題如果有許多條件需要滿足，那么，我們就必須一個條件、一個條件地去逐一滿足。于是，我們總是先選擇一個要求最低(滿足要求的事物比較容易尋找)的條件，按照某種順序(如從小到大)既不重復又不遺漏地逐一列出那些滿足這一條件的所有事物。然后，再看這些事物是否滿足第二個條件，不滿足的排除，滿足的留下。如此進行，直到滿足所有條件為止，這時留下來的事物就是我們要尋求的。我們把最先不重不漏為滿足某一條件而進行的列舉事物的方法，稱之為枚舉；把不斷地排除、留下的過程稱之為篩選。通過不斷地篩選，來獲得問題的解，顯然，這就是逐步逼近思想。

例1 有這樣的兩位數，將它分別乘以2、3、4、5、6、7、8、9后，所得結果的數字和都相等，那么它們是____。

【思考】先從乘數是9的情況考慮，一個兩位數乘以9所得結果的數字和不變，也就是說，這個兩位數的數字和等于它與9的積的數字和，而一個數與9的積的數字和必是9的倍數，所以這個兩位數的數字和也是9的倍數。

于是，這個兩位數可能是：18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。

用2分別去乘這幾個數，積的數字和與這個兩位數的數字和完全相同；

用3分別去乘這幾個數，積的數字和與這個兩位數的數字和不同的是63，去掉它；用4分別去乘除去63后剩下的幾個數，積的數字和與這個兩位數的數字和不同的是72，去掉它；還剩18、27、36、45、54、81、90、99。

用5分別去乘這幾個數，積的數字和與這個兩位數的數字和完全相同；

用6分別去乘這幾個數，可排除81，還剩18、27、36、45、54、90、99；

用7分別去乘這幾個數，可排除27、54，還剩18、36、45、90、99；

用8分別去乘這幾個數，可排除36，還剩18、45、90、99。

于是，滿足所有條件的兩位數是：18、45、90、99。

枚舉是為篩選作準備的，只有經過篩選的逐步淘汰，才能得到我們需要的結果。篩選的關鍵是枚舉確定的范圍，為了更快地尋求到結果，應該盡可能地縮小枚舉范圍。

例2 下圖是一個小數的除法豎式，算式中注明的兩個字母的要求為A

【思考】顯然，C=D=E=F=S=0，J=5。

顯然，X、I必有一個不小于8，不妨從X=9開始，這時I≥7。

若I=7，則因為A

又由75×8=600可知A=1，K=8，G=H=6。

于是681÷75=9．08。

這個豎式的除數與商的和是75+9．08=84．08。

顯然，小學數學中常見的數字謎問題，其解法就是典型的枚舉篩選。

二、估算篩選與逐步逼近

估算法是一種粗略的計算方法，也是一種快速的近似計算方法，它是通過對題目所給條件或信息作適當變形與整理后，對結果確定出一個范圍或作出一個估計的方法。顯然，通過估算縮小問題解決的范圍，然后利用篩選最后獲得結果。這種先估算再篩選的思想就是逐步逼近思想。

估算篩選是小學數學中一種常見的方法。下面的例子將讓我們感受到估算篩選這種逐步逼近思想在解題教學中的應用。

例3 有人見小諸葛一臉稚氣，聰穎過人，不禁引發了好奇心：“請問孩兒今年貴庚幾何?”小諸葛饒有趣味地回答：“鄙人今年歲數的立方是個四位數，歲數的4次方是個六位數，如果把兩者合起來看，正好把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個數字統統用上去了，不重不漏。”那么小諸葛今年到底幾歲?

【思考】從簡單情況出發探索，由20 =8000 21 =9261 22 =10648知，小諸葛的年齡最大是21歲。

因為，15 =225×225是五位數，17 =289×289也是五位數。所以，小諸葛的年齡最小是18歲。

18 =324×324必是六位數，于是，直接計算18 =5832，18 =104976正好滿足條件。故小諸葛今年18歲。

多位數乘法，積的位數的估計，是解決問題的關鍵。巧妙地利用估算，優化算法，能取得事半功倍的效果。

上述問題解答的過程，不僅提高了學生學習的興趣，也達到了思維訓練的目的。

例4 某住宅區共有十二家住戶，他們的門牌號碼分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。他們的電話號碼依次是十二個連續的六位自然數，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼還能被13整除，問這一家的電話號碼是____。

【思考】先求［1，2，…，11，12，］=27720，各家的電話號碼可能是27720+1，27720+2，…，27720+12。

又27720÷13=2132…4，所以27720+9=27729能被13整除。

因為27729不是六位數，把它擴大十三倍(因為擴大后還須被13整除），得27729×13=360477。

但這時不能保證其他住戶的電話號碼能被各自的門牌號整除，例如360478就不能被10整除。

為解決這個問題，先將27720擴大十三倍得360360，再分別加上27720+1，27720+2，…，27720+12就得到滿足條件的所有電話號碼，其中360360+27720+9=388089即所求。

上述問題的解決，正是應用逐步逼近思想，使問題逐步解決。

三、目標分析與逐步逼近

目標分析指根據控制論的“反饋—控制”原理，首先按照問題的要求建立一個解題目標，然后比較初始條件、中間狀態與解題目標之間的差異，確定和調整解題方向，使差異逐步縮小，最終達到解題目標，實現解題。這種目標分析思想也是逐步逼近思想。

目標分析的要點是：一建立適當的解題目標；二比較問題的現時狀態與解題目標之間的差異；三按照解題目標的方向逐步縮小差異。

例5 在503后面添三個數字，使所得的六位數能被7、9、11整除。

【思考】從整體上考慮，該六位數既然能被7、9、11整除，也應該被7、9、11的最小公倍數693整除，反過來，如果這個六位數能被693整除，那么它一定能被7、9、11整除。因此，建立解題目標：

503□□□÷693=A (1)

其中A表示一個整數的商，設法在503的后面添入適當的數字使(1)成立。不妨設添入的三個數是999(最大的三個數字)，就得：

503999÷693=727…188 (2)

(2)與(1)比較發現多了余數188，只要在999中減去188得811。

503811÷693=727 (3)

(3)與解題目標(1)相一致了，503811是題目的一個解811，由于811大于693，還可以從811中再減去693，得到118，又得到另一個解503118。

此題如果用常規方法，從整數的整除性特征入手去考慮，所得的六位數如何才能被7、9、11整除，解答起來就比較困難。

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