淺談數學解題能力的培養

數學問題解決是在數學概念、數學命題學習的基礎上，應用各種數學知識去解決數學問題的一種學習方式。它不僅可以鞏固學生所學的數學知識，而且能夠幫助學生更加深入地領悟數學的文化意蘊，促進數學素養的提高。

一、等價變換——數量關系的不同表述

教學片段一

師：同學們，你們能根據所給的線段圖說出它們的數量關系嗎？

生：紅花是白花的50％(或 )；

白花是紅花的2倍；

白花比紅花多100％；

紅花和白花的朵數比是1∶2；

紅花是紅白花總數的 ；

……

師：可見同一個數量關系可以用不同方式來表達。

師：你能將下面的數量關系換個說法嗎？

一桶油，第一次吃去它的20％，比第二次吃的少2千克……

生：一桶油，第一次吃去它的20％，第二次吃了這桶油的20％再加2千克……

一桶油，第一次和第二次共吃去這桶油的40％還多2千克……

……

線段圖表示的數量關系可以用不同的方式表述出來，這不僅給學生思維發散性的培養提供了機會，更重要的是這種運用不同類型知識表示不同數量關系行為的實質，是學生運用不同方式來表征同一個對象。不同的表征方式對問題的解決具有不同的影響作用，可能某種表征方式比其他方式更有效，因為不同表征能激活長時記憶中的不同事實和程序。從問題決的角度看，重述數量關系不僅有理解題意的作用，而且這種做法的本身就是在進行解題方案的設計。G·波利亞認為，改變已知數據或未知量，以及將兩者同時改變，從而使新的已知數據和未知量彼此更加接近的做法就是在設計解題方案。

百分數表示的是一個數占另一個數的百分之幾，用它表示數量關系與倍數、比或分數(一個數占另一個數的幾分之幾)表示數量關系形異而實同，它們之間可以進行等價變換。這種等價的變換，使問題得到重新組織，從而激活某個適當的解題知識塊，如倍數知識塊、比的知識塊和分數知識塊等，有助于學生接近或找到解題的路徑。其實，小學數學解題的過程是一個填補已知條件與所求問題之間空隙的過程，而這種填補從一定程度上可以被視為已知條件、所求問題或兩者兼而有之的持續的等價變換行為。

二、條件變換——基本解法的訓練

教學片段二

師：現在我們在上面的線段圖上增加一個數量——20朵，你想將它作為紅花的朵數還是白花的朵數?你能求出另一種花的朵數嗎?

生1：我想將它作為白花的朵數。

生2：我想將它作為紅花的朵數。

師：你們會解答嗎?

師：如果將20朵作為紅花和白花一共的朵數可以嗎？你能根據它算出紅花和白花各是多少朵嗎？

師：如果將條件“紅花是白花的50％”換成“紅花比白花少50％”，你們還會解答嗎?

生：……

常見的百分數問題依據解法有幾種基本形式，如A×B%、A÷B%、A×(1±B%)等。學生對這幾種基本形式的理解和掌握是學生解答較復雜問題的基礎，其理解的程度和運用的熟練性直接影響著較復雜問題解決的效率。通過條件變化的方式將百分數問題幾種基本形式進行比較，有助于學生系統、全面地理解和掌握這幾種題型的數量關系及其解法。對于前面所論的等價變換而言，其最終歸宿就在于解題者已經掌握的基本問題及其解法。

三、畫線段圖——數量關系的直觀化

教學片段三

問題情境：

一桶油，第一次吃去它的

20%，是第二次吃的50%。

師：你能用線段圖表示上面的數量關系嗎？

學生嘗試畫圖，然后師生交流。

師：你為什么這樣畫?

生：我是將上面的話換了一種說法。“第一次吃的是第二次的50％”可以說成“第二次吃的是第一次的2倍”，這樣就好畫了。

師：是啊!這樣我們很容易地從圖上看出第二次吃了一桶油的40％。

師：現在將條件中的“是第二次吃的50％”換成“比第二次吃的50％少2千克”，你還能畫出線段圖嗎?

學生嘗試畫圖，然后師生交流。

師：在這里，我們可以將“比第二次吃的50％少2千克”這個條件等價變換為“第一次吃的加上2千克是第二次吃的一半”，即“第二次吃的=(一桶油× 20％+2千克)×2”。

“畫一張圖”，這是許多解題高手常用的解題策略。圖形較之于文字可以直觀形象地呈現數量關系，使許多隱藏在文字背后的數量關系顯現于解題者的眼前，從而使解題者易于找到解題的突破口。根據皮亞杰的發生認識論原理，小學生的認知主要處于具體運演階段(2～7歲)。其特點是外部的行為活動逐步轉化為內部的心理運演，即是在心理上進行內部的組合、對應、分類等思維活動，而這在很大程度上離不開直觀的支撐，脫離不了對圖形表象的依賴。因此，畫圖對小學的解題來說尤為重要。從小學生數學學習來看，解決某些具體的問題不是最主要的目的，學會解題才是最重要的。秉持這種“學解”的教學觀點，教會學生通過畫線段圖直觀顯示數量關系的方法是一項重要而必須完成的任務。畫圖是解題過程中的理解題意階段，其實質是對問題進行形象表征，從某種角度上說，它也是一種等價變換——將題目的條件和問題及其相互關系等價變換為一種直觀的狀態。

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