平面直角坐標(biāo)系及其中的六個關(guān)系

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；坐標(biāo)；平面直角

【中圖分類號】 O1【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 B【文章編號】 1005-1074(2008)04-0152-02

如圖1就是一個平面直角坐標(biāo)系，它是由兩條原點(diǎn)重合為一點(diǎn)且互相垂直的數(shù)軸組成的。其中水平數(shù)軸是OX軸或叫做橫軸，垂直數(shù)軸是OY或叫做縱軸，原點(diǎn)是O。以原點(diǎn)O為界，沿箭頭所指的方向分別是橫軸的正半軸和縱軸的正半軸，反之則為負(fù)半軸。

平面直角系將坐標(biāo)平面分成四部分，分別為四個象限，從左上角開始按逆時針方向分別為第一象限，第二象限，第三象限和第四象限，其中的兩坐標(biāo)軸即OX軸和OY軸，不在四個象限中的任何一個象限，它是四個象限的分界線，如圖2所示。

1 四個象限的符號關(guān)系

由于第一象限是由OX軸的正半軸和OY軸的正半軸劃分的，它的象限符號為（+，+）；第二象限是由OX軸的負(fù)半軸和OY軸的正半軸劃分的，它的象限符號為（－，+）；第三象限是由OX軸的負(fù)半軸和OY軸的負(fù)半軸劃分的，它的象限符號為（－，－）；第四象限是由OX軸的正半軸和OY軸的負(fù)半軸劃分的，它的象限符號為（+，－）。

2 兩坐標(biāo)軸的坐標(biāo)符號關(guān)系

在OX軸的正半軸上，因都是正數(shù)，其符號為（＋，0）；在OY軸的正半軸上，因都是正數(shù)，其符號為（0，＋）；在OX軸的負(fù)半軸上，因都是負(fù)數(shù)，其符號為（－，0）；在OY軸的負(fù)半軸上，因都是負(fù)數(shù)，其符號為（0，－）。

3 點(diǎn)與坐標(biāo)系的關(guān)系

平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的表示方法是由于平面坐標(biāo)系是由一個水平數(shù)軸即橫軸和一個豎直數(shù)軸即縱軸組合而成的，要表示其內(nèi)的一個點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，必須用兩個數(shù)，即一對有序?qū)崝?shù)。如用（1，2）表示圖3中的A點(diǎn)，而（2，1）則表示圖3中的B點(diǎn)。雖然都是1和2，由于順序不同，表示點(diǎn)的位置也不同，同學(xué)們抓住這個特點(diǎn)記憶就很容易了。這就是常說的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與一對有序?qū)崝?shù)是一一對應(yīng)關(guān)系。在用坐標(biāo)表示點(diǎn)時，先表示橫軸上的數(shù)據(jù)即橫坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，用逗號分開，再表示縱軸上的數(shù)據(jù)即縱坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，最后將這兩個數(shù)據(jù)用括號括起來即可。

3.1 四個象限內(nèi)的點(diǎn)的表示方法 第一象限內(nèi)的點(diǎn)，由于第一象限的象限符號是（＋，＋）所以第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)都是正的，如圖3中A點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，2），B點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）；第二象限內(nèi)的點(diǎn)，由于第二象限的象限符號是（－，＋）所以第二象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是負(fù)的，縱坐標(biāo)是正的，如圖3中C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（－1，2）；第三象限內(nèi)的點(diǎn)，由于第三象限的象限符號是（－，－）所以第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是負(fù)的，縱坐標(biāo)也是負(fù)的，如圖3中D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（－1，－2）；第四象限內(nèi)的點(diǎn)，由于第四象限的象限符號是（＋，－）所以第四象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正的，縱坐標(biāo)是負(fù)的，如圖3中E點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，－3）。

3.2 坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法 ①橫軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法：由于橫軸正半軸的坐標(biāo)符號是（+，0）所以在OX軸的正半軸上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是正數(shù)，縱坐標(biāo)都是0，如圖4中的A點(diǎn)，其坐標(biāo)為（3，0）；由于橫軸負(fù)半軸的坐標(biāo)符號是（－，0）所以在OX軸的負(fù)半軸上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)都是0，如圖4中的B點(diǎn)，其坐標(biāo)為（－2，0），這就是常說的在橫軸上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0的原因。②縱軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法：由于縱軸正半軸的坐標(biāo)符號是（0，+）所以在軸的正半軸上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是正數(shù)，橫坐標(biāo)都是0，如圖4中的C點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，3）；由于縱軸負(fù)半軸的坐標(biāo)符號是（0，－）所以在OY軸的負(fù)半軸上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)，橫坐標(biāo)都是0，如圖4中的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，－2），這就是常說的在縱軸上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是0的原因。

4 距離與坐標(biāo)的關(guān)系

如圖5中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，－3）由點(diǎn)到直線的距離定義知，A點(diǎn)到OX軸的距離為3，與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)數(shù)值相同；到OY軸是距離是2，與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)數(shù)值相同；點(diǎn)B到OX的距離為3，與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的絕對值相同，到OY軸是距離是1，與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值相同。由此可得：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)到橫軸的距離是其縱坐標(biāo)的絕對值，到縱軸的距離是其橫坐標(biāo)的絕對值。

5 兩對稱點(diǎn)之間的關(guān)系

①關(guān)于OX軸對稱的兩點(diǎn)之間的關(guān)系。如圖6若點(diǎn)A（－2，－1）關(guān)于OX軸對稱，那么點(diǎn)A繞OX軸旋轉(zhuǎn)180度后與A₁重合，此時A和A₁到OX軸的距離應(yīng)相等，即為 －1=1，也就是A₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)為1，因其與OX對稱，所以橫坐標(biāo)應(yīng)不變，即A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，1），也就是說，關(guān)于OX軸對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可。②關(guān)于OY軸對稱的兩點(diǎn)之間的關(guān)系。如圖6若點(diǎn)A（－2，－1）關(guān)于OY軸對稱，那么點(diǎn)A繞OY軸旋轉(zhuǎn)180度后與A₂重合，此時A和A₂到OY軸的距離應(yīng)相等，即為－2=2，也就是A₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為2，因其與OY對稱，所以縱坐標(biāo)應(yīng)不變，即A₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－1），也就是說，關(guān)于OY軸對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可。總之，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)關(guān)于哪個坐標(biāo)軸對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：哪個坐標(biāo)軸的坐標(biāo)不變，另一個坐標(biāo)變成互為相反數(shù)即可。③關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)之間的關(guān)系。如圖7所示，A(2，3)關(guān)于原點(diǎn)O對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：連接OA并延長AO到A₁使AO=OA₁，此時相當(dāng)于三角形AOB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度后得到三角形A₁OB₁，則有OB=OB₁=3，AB=A₁B₁=2，由此可得A₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－3），比較A(2，3)和A₁（－2，－3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a，b)，則關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（－a，－b），即將原已知點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)榛橄喾磾?shù)即可得到關(guān)于原點(diǎn)對稱的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。總之，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，無論是在哪個象限內(nèi)，還是在兩坐標(biāo)軸上，關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為原坐標(biāo)的互為相反數(shù)。

6 各象限內(nèi)角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系

6.1 一、三象限內(nèi)角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系 若OA是一、三象限內(nèi)角平分線上的一點(diǎn)，A的橫坐標(biāo)為3，過A作AA₁垂直于OX軸交OX軸于A₁點(diǎn)，則OA₁=3。因?yàn)椤螦OA₁= 12×90°=45°，所以∠OAA₁=90°－45°=45°，則AA₁=OA₁即AA₁=3，由此可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等。這就是常說的一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的原因。

6.2 二、四象限內(nèi)角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系 若OB是二、四象限內(nèi)角平分線上的一點(diǎn)，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，過B作BB₁垂直于OX軸交OX軸于B₁點(diǎn)，則OB₁= －2=2。因?yàn)椤螧OB₁= 12×90°=45°所以∠OBB₁=90°－45°=45°，即三角形OBB₁為等腰直角三角形，所以BB₁= OB₁即BB₁=2，由此可得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即為（－2，2）。這就是常說的二、四象限的角平分線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的原因。總之，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，二、四象限的角平分線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

7 例題

7.1 選擇題

① 如果A(2，m)與B(-2，－5)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m=()

A.-5；B.1/5；C.5；D

分析：因?yàn)锳(2，m)與B(-2，-5)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以m和－5是互為相反數(shù)，即m的值為5，故應(yīng)選C。

②點(diǎn)P(a，b)滿足|a|+b²= 0，則點(diǎn)P()

A.在x軸或y軸上；B.是坐標(biāo)原點(diǎn)；C.在x軸上；D.在y軸上

分析：因|a|和b²都是非負(fù)數(shù)，而|a|+b²= 0，只有|a|=0和b²=0同時為0，則有a=0，b=0又因a，b為P點(diǎn)的兩個坐標(biāo)，故應(yīng)選B。

③下列命題中正確的是（）

A.點(diǎn)M(a，o)在第一或第四象限；B.在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)都是零；C.若點(diǎn)N(a，b)滿足ab＜0，則點(diǎn)N在第二，四象限;D.點(diǎn)P(2，-3)到y(tǒng)軸的距離為3

分析：A.選項(xiàng)中點(diǎn)M(a，o)因其縱坐標(biāo)為0，點(diǎn)M(a，o)在橫軸上，不在任何象限，A.選項(xiàng)是錯誤的。因在橫軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，在縱軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，B選項(xiàng)中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)都是零沒有說清楚，所以不正確。C選項(xiàng)中ab＜0，說明a、b是異號，點(diǎn)N(a，b)在第一或第四象限是正確的。D.選項(xiàng)中P(2，-3)到y(tǒng)軸的距離是P點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，應(yīng)為2，故是錯誤的。

7.1 填空題 如果點(diǎn)M(1－a，1－b)在第二象限，那么N (a－1，b－1)在第_____象限

分析：因點(diǎn)M(1－a，1－b)在第二象限，而第二象限的象限符號是（－，+），則有1－a＜0，1－b＞0，那么a－1＞0，b－1＜0，所以N (a－1，b－1)在第四象限。