解分式方程三問

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；分式；方程

【中圖分類號】 O175.11【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 B【文章編號】 1005-1074(2008)04-0146-01

一問：教科書中說：“整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式，如果除式B中含有字母，那么稱 AB為分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母。”又說：“像這樣，分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。”我們是否可以這樣理解：只要分母中含有字母的方程都可以認(rèn)為是分式方程？

答：不一定。從一般意義上講，分母含有的字母若是未知數(shù)，則這個方程是分式方程，如 1x＝3x－2，40a－3＝60a＋3等都是分式方程。而 1π－2＝16x這個方程中分母中也含有字母 π，但這個方程卻不是分式方程。因?yàn)閺谋砻嫔峡?π是一個字母，但 π實(shí)際上是一個無理數(shù)，不能當(dāng)做未知數(shù)對待，所以 1π－2＝16x不是分式方程，是整式方程。

二問：教科書中在解分式方程時，都要檢驗(yàn)，而在解整式方程時，不需要檢驗(yàn)，解分式方程的步驟和解整式方程的步驟都是：①去分母，②去括號，③移項(xiàng)，④合并同類項(xiàng)，⑤化系數(shù)為1。和解整式方程一樣不檢驗(yàn)不行嗎？

答：解整式方程中一元一次方程的步驟和解可化為一元一次方程的分式方程的步驟雖然基本相同，但在解分式方程會產(chǎn)生增根。所謂增根就是在方程變形中如果產(chǎn)生了不適合原方程的根，那么我們稱它為原方程的增根，為了去掉這個不適合原方程的增根，在解所有的分式方程中都要檢驗(yàn)。這里要說明的是，不是所有的分式方程在解時都產(chǎn)生增根，但是所有的分式方程在解的過程中，都有可能產(chǎn)生增根。故解分式方程時都必須檢驗(yàn)其根是否是原方程的增根。這里還要說明的的是：例如解分式方程 2xx－1＝x＋1x－1時，為了去掉分母，分式方程的兩邊都乘（x-1），得2x=x+1，解這個方程，得x=1。產(chǎn)生x=1這個增根的原因是，我們在這個方程的兩邊同乘一個整式（x-1），而解得的x=1這個根恰好使這個整式的值為0。也就是說在分式方程的兩邊都乘了零。使本來無解的分式方程變成了好像有解的了。

三問：教科書中有這樣一個題目：解方程 2x＋2x＋2＝1－2x=2按照課本上是方程的兩邊都乘以（x+2）得2x+2=x+2-2，解得x=-2。經(jīng)檢驗(yàn)x=-2是原方程的增根。因此，原方程無解。如果這樣解：按課本上方程兩邊都乘以（x+2），得2x+2=1-2解得 x=－32。經(jīng)檢驗(yàn) x=－32可使 x＋2=－32＋2＝0，故 x=－32是原方程的解。前面的解使原方程無解，而后面的解 x=－32使原方程解為 x=－32，為什么有解的不正確而無解的正確呢？

答： x=－32不是原分式方程的解。因?yàn)楦鶕?jù)方程解的定義知，能使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫做方程的解。左邊 ＝2×－32＋2－32＋2＝－2，右邊 ＝1－2－32＋2＝－3。 －3≠－2，故 x=－32不是原方程的解。

這里需要說明的是：方程的兩邊都乘以（x+2）是指方程兩邊各項(xiàng)都乘以（x+2）。即左邊 2x+2x+2這一項(xiàng)要乘以（x+2），方程的右邊共兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)都要乘（x+2），也就是 1#8226;（x+2）和 －2x+2#8226;（x+2），這是符合等式性質(zhì)的。不是左邊有一項(xiàng)乘以（x+2），而右邊也有一項(xiàng)乘以（x+2）就叫做方程兩邊都乘以（x+2）。一個方程解的有或無，只給方程本身有關(guān)系，和將這個方程如何解沒有關(guān)系。

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