空間幾何體創(chuàng)新問題透視

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一. 近幾年的高考試題及各省市模擬題，出現(xiàn)了許多與“空間幾何體”有關(guān)的創(chuàng)新試題. 這些題形式多樣、背景客觀、貼近考生實(shí)際，所考查的知識(shí)又非常豐富，洋溢著濃厚的“能力立意”色彩，是選拔人才的好題型.

透視一 在情景中考查想象力

福娃是北京2008年第29屆奧運(yùn)會(huì)吉祥物，其色彩與靈感來源于奧林匹克五環(huán)、來源于中國(guó)遼闊的山川大地、江河湖海和人們喜愛的動(dòng)物形象．福娃向世界各地的孩子們傳遞友誼、和平、積極進(jìn)取的精神和人與自然和諧相處的美好愿望.每個(gè)娃娃都有一個(gè)瑯瑯上口的名字：貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮．當(dāng)把五個(gè)娃娃的名字連在一起，你會(huì)讀出北京對(duì)世界的盛情邀請(qǐng)“北京歡迎您”．

例1 水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，上面分別畫上了福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮，以及寫上了“中國(guó)”，若圖中貝貝在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是() .

A． 晶晶B. 歡歡 C. 迎迎D. 妮妮

解析 如圖所示，把貝貝作為上面，貝貝下面的晶晶作為前面，則晶晶右邊的歡歡作為右面，故得迎迎作為下面， 以此推斷可得迎迎右邊的妮妮是后面，而“中國(guó)”是左面. 答案應(yīng)選C.

點(diǎn)評(píng) 將問題融入與我們緊密相關(guān)的情境中，這是近年高考對(duì)考生能力考查的一大變化趨勢(shì)．

透視二 利用三視圖考查識(shí)圖畫圖能力

新考綱要求：會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.

例２ 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的射影不可能是（）.

解析 要想畫出空間四邊形在各面上的投影，只需畫出空間四邊形的各點(diǎn)在各面上的射影即可作如下判斷（排除法）：

A：它是空間四邊形AGEF在底面ABCD上的投影；

B：它是空間四邊形AGEF在面ADD1A1上的投影；

C：它是空間四邊形AGEF在面ABB1A1上的投影.

綜上可知，正確選項(xiàng)為D.

點(diǎn)評(píng) 本題把三視圖的概念加以推廣，考查的內(nèi)容實(shí)質(zhì)上是空間四邊形在六個(gè)面上的投影，讀者可以依例構(gòu)造各種幾何體在長(zhǎng)方體各面上的投影.

透視三 與數(shù)列相聯(lián)系考查合情推理能力

數(shù)學(xué)中的推理常常要用到歸納與類比等方法，歸納是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，是由部分到整體，由特殊到一般的推理方法；類比是從一個(gè)數(shù)學(xué)問題到另一個(gè)數(shù)學(xué)問題的心理活動(dòng)，即尋找一個(gè)相似的問題，或找出與問題接近的方法，通過變通或轉(zhuǎn)化來解決問題.

例３ 如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有_____條，這些直線中共有f(n)對(duì)異面直線，則f(4)=；f(n)=____.(答案用數(shù)字或n的解析式表示)

解析 由于多面體是n棱錐，故可知共有n條側(cè)棱，而其它n個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)共可以構(gòu)成直線 ，故共可以確定直線 .

由于所有的側(cè)棱交于一點(diǎn)，故知側(cè)棱之間不能構(gòu)成異面直線；由于底邊全部在同一平面上，故也不能構(gòu)成異面直線；而側(cè)棱與底邊之間可能構(gòu)成異面直線：對(duì)于三棱錐來說，每條側(cè)棱都與1條底邊異面，共有3對(duì)異面直線；對(duì)于四棱錐來說，每條側(cè)棱都與2條底邊異面，共有4×2=8對(duì)異面直線；對(duì)于五棱錐來說，每條側(cè)棱都與3條底邊異面，共有5×3=15對(duì)異面直線；對(duì)于n棱錐來說，每條側(cè)棱都與不和它相交的n-2條底邊異面，共有n（n-2）對(duì)異面直線；由此歸納出f（n）＝n（n-２）.

點(diǎn)評(píng) “新課標(biāo)”要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新實(shí)踐能力的人才，此題把立體幾何知識(shí)與數(shù)列聯(lián)合起來考查考生觀察問題、分析問題與解決問題的能力.

透視四 利用直觀圖考查抽象概括能力

抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)的屬性；概括是指把僅僅屬于某一類對(duì)象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.

例４ 如圖所示水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xoy中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則在用斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為().

點(diǎn)評(píng) 畫直觀圖的步驟：畫軸、取點(diǎn)、成圖；對(duì)直觀圖考查的重點(diǎn)是平行y軸的線段要減半畫成平行于y′軸，很多考生容易受直角坐標(biāo)系的影響，以為y′軸與x′軸垂直而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?

透視五 注重知識(shí)聯(lián)系與不等式相交匯

關(guān)注知識(shí)交匯點(diǎn)，把握縱橫聯(lián)系，揭示普遍規(guī)律，注重綜合應(yīng)用，在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，考查綜合分析問題與解決問題的能力，使立體幾何成為高考改革的一支風(fēng)向標(biāo)．

例５ 已知三棱錐O－ABC中，OA、OB、OC兩兩互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y(tǒng)，若x+y=4，則已知三棱錐O－ABC體積的最大值是().

點(diǎn)評(píng) 本題以三棱錐的體積為背景，考查了利用均值不等式求最大值的思想，理解OA、OB、OC兩兩互相垂直是解決本題的突破口.

責(zé)任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”