高等數(shù)學(xué)概念形成的心理過程和教學(xué)方法研究

摘 要：高等數(shù)學(xué)概念形成有兩個重要的心理過程：一是從概念意象抽象出概念的規(guī)定；二是使概念抽象的規(guī)定在思維過程中具體地再現(xiàn)。筆者對高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)有兩點心理學(xué)建議：心理干擾的恰當(dāng)運用，整體教學(xué)借助概念的直觀性。

關(guān)鍵詞：概念意象 心理干擾 整體教學(xué)

一、高等數(shù)學(xué)概念形成的心理過程

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)筑數(shù)學(xué)理論的基石，是數(shù)學(xué)思想方法的載體。高等數(shù)學(xué)是由概念—性質(zhì)（公式）—范例組成的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，概念是源頭，性質(zhì)（公式）都是由它衍生出來的，因而高等數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在整個高等數(shù)學(xué)的教學(xué)體系中顯得極其重要。高等數(shù)學(xué)概念與初等數(shù)學(xué)概念相比更加抽象，往往都以運動的面貌出現(xiàn)，是動態(tài)的產(chǎn)物，因而高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)者往往需要做出思維模式上的調(diào)整。這就要求我們在高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中不僅要重視概念的實際背景與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，更要注重學(xué)生在概念形成中的心理過程，解決抽象的高等數(shù)學(xué)概念給他們帶來的心理困惑。

在教師指導(dǎo)下數(shù)學(xué)概念獲得的過程一般分為以下六個步驟［１］：

（1）觀察一組實例，從中抽取共性；

（2）下定義，分析含義，了解概念的本質(zhì)屬性；

（3）舉正、反例，弄清該概念的內(nèi)涵和外延；

（4）將該概念與其他有關(guān)概念進行聯(lián)系和分化；

（5）重新描述概念的意義；

（6）運用概念，使之變成思維中的具體。

通過對上六個步驟心理過程的分析，我們可以把學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成概括為兩個心理階段：一是從正確完整的概念意象抽象出概念的規(guī)定（這里的概念意象也就是在學(xué)生的頭腦中和所要學(xué)習(xí)的概念名稱相聯(lián)系的思維圖像以及描述它們所有特征的性質(zhì)）；二是使概念抽象的規(guī)定在思維過程中導(dǎo)致具體的再現(xiàn)。因而教師在概念教學(xué)中主要把握就是這兩個階段的基本要求：如何讓學(xué)生產(chǎn)生正確完整的高等數(shù)學(xué)的概念意象，并從中抽象出高等數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，以及如何使這一概念成為學(xué)生思維中的具體，即將概念的形象化。

1.從正確完整的概念意象到抽象的數(shù)學(xué)概念

一般常識性的概念的形成都需要一定數(shù)量的經(jīng)驗，從對具有某種共同性質(zhì)的實例中概括、抽象，然后再分類過程中獲得。數(shù)學(xué)概念更加抽象，但仍然是一種處理實際思維的方法。沒有實際思維材料，就沒有思維運算的對象，運算沒有對象，抽象就沒有基礎(chǔ)。從心理本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，仍應(yīng)以實例為出發(fā)點，這是運算思維的要求。所以數(shù)學(xué)概念應(yīng)通過恰當(dāng)?shù)膶嵗M行組織整理、分析歸納、分類抽象來教學(xué)。實際上，這些引例在概念學(xué)習(xí)之前不僅介紹了基本概念產(chǎn)生的客觀背景及其在解決實際問題中的意義，也有利于教師后面對所學(xué)概念給出幾何意義、物理解釋以及其他聯(lián)系實際的解釋，還讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念不是憑空設(shè)想出來的，而是來源于實際，根據(jù)實際需要建立的。更重要的是從這些引例中得到的概念意象——這些在學(xué)生的頭腦中具有的和所要學(xué)習(xí)的概念名稱相聯(lián)系的思維圖像以及描述它們所有特征的性質(zhì)，是抽象得出所要學(xué)習(xí)的概念的基礎(chǔ)前提。

這里我們要強調(diào)注意在學(xué)生頭腦中所形成的概念意象的正確性和完整性。不正確和不全面的概念意象可以影響學(xué)生頭腦中形成的數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確性和全面性。

在微分學(xué)中學(xué)習(xí)函數(shù)圖形的切線這一概念時，我們給出了函數(shù)的圖像，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：80%的學(xué)生正確地認為可以在原點畫出一條切線，但是能正確畫出切線的學(xué)生數(shù)竟低于20%。調(diào)查表明，90%以上學(xué)生反思在他們形成切線概念的概念意象中，函數(shù)圖像除了極大值點和極小值點外，其他的點不存在水平的切線。

另外不恰當(dāng)?shù)母拍钜庀筮€會嚴重影響學(xué)生頭腦中形式化理論的發(fā)展。以極限這一概念為例，Robert（1982）分析過一系列學(xué)生用于處理極限問題的思維模型［２］，這些模型被看作是概念意象的很好的例證。Cornu（1981）和Sierpinska（1985）曾把學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念的演變作為一個克服障礙的過程，并提出了五類障礙，其中最重要的就是恐懼無限，其結(jié)果就是不少學(xué)生不把無限作為一個專門的數(shù)學(xué)運算，或干脆使用不完全歸納法求得極限。Wheeler和Martin（1988）也曾研究得出，學(xué)生關(guān)于無限概念和他們頭腦中所蘊含的概念意象明顯不一致［２］。

2.從抽象的規(guī)定到思維中的具體

從正確完整的概念意象抽象得到的數(shù)學(xué)概念是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的第一個重要的心理過程，概念是否得到正確掌握還要檢驗概念的抽象規(guī)定是否能變成學(xué)生思維中的具體，也就是將概念的形象化能力。

比如在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分的概念時，學(xué)生往往有一種強烈的心理傾向，就是將這些內(nèi)容化為代數(shù)運算，而避免圖像和幾何意象，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微積分的“大運動量”的強化運算也使得學(xué)生頭腦中形成的關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微積分的概念缺乏形象化，影響對數(shù)學(xué)概念的真正理解和運用。

例如討論f(x，y)=2x+4y+y ( +x )的可微性時，90%以上的學(xué)生立刻計算f的偏導(dǎo)數(shù)，而不是觀察表達式的結(jié)構(gòu)。其原因就是學(xué)生在一個純粹算法的水平上理解了微分的概念，并沒有把微分理解為逼近，也沒有把它作為函數(shù)。

又如學(xué)生在學(xué)習(xí)積分時，往往是把積分計算作為求原函數(shù)，背誦記憶積分公式。他們能很熟練地寫出某個函數(shù)的原函數(shù)，但讓他們解決下列一個問題時，幾乎沒有學(xué)生認識到這是個典型的積分問題。所舉例的問題是這樣的：求放在一條直線上的一根均勻的給定長度的細棍與位于該直線上的一個質(zhì)點之間的引力。

產(chǎn)生這些結(jié)果的原因有兩個：由于對函數(shù)概念理解不全面，學(xué)生不能把微分和積分看作是函數(shù)；以及微分和積分與他們頭腦中的函數(shù)的意象不一致。歸根到底就是學(xué)生對函數(shù)、微分、積分等這些概念的形象化的缺乏，使得這些概念抽象的規(guī)定不能轉(zhuǎn)化為思維中的具體。

二、高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法的心理學(xué)建議

1.注意心理干擾的作用。

在以上分析的概念形成的兩個心理階段里，無論是為了揭示概念的內(nèi)涵還是弄清概念的外延，在所出現(xiàn)的實際例子中的一些與概念本質(zhì)無關(guān)的性質(zhì)，會對概念的建立起到心理干擾的作用。要注意的是，并不是所有的心理干擾都是有用或都是無用的。在概念形成的第一個階段，為了揭示概念的內(nèi)涵，教學(xué)上應(yīng)當(dāng)注意降低無關(guān)性質(zhì)的心理干擾，使概念的本質(zhì)內(nèi)涵清楚地體現(xiàn)出來，讓學(xué)生不致被無關(guān)細節(jié)迷惑。而當(dāng)概念的定義抽象提取出以后，在第二階段為了讓學(xué)生搞清概念的外延，這時增大干擾能訓(xùn)練學(xué)生從較難的實例中分離出概念性質(zhì)，以減少他們對教師的依賴。

2.建立概念體系，注意概念的整體教學(xué)。

“格式塔”心理學(xué)認為，人的知覺、行為和經(jīng)驗具有整體性，并且總體大于部分和。皮亞杰提出了整體心理結(jié)構(gòu)的“構(gòu)建”，認為人的認識活動總是要形成整體的心理結(jié)構(gòu)，這種心理的整體結(jié)構(gòu)使人的思想更加完善，并且是獲得更高知識的有效工具。數(shù)學(xué)概念也有類似的整體結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。每一個概念總是概念結(jié)構(gòu)層次中的一個成分，與其它概念存在著包含、從屬或并列關(guān)系。因此對數(shù)學(xué)概念的理解，從心理學(xué)上可解釋為要求將它同化到一個適當(dāng)?shù)母拍铙w系中去，從它與其它概念的關(guān)系中理解。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的整體性要求我們不能按照概念獲得的先后次序單純積累知識，也不應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)本身的邏輯演繹體系編排概念的整體。數(shù)學(xué)概念之間往往是“相輔相成”的關(guān)系，而非“一脈相承”的關(guān)系。不能只靠前面的概念來理解后面的概念，后面的概念同樣能幫助理解前面的概念。比如，微積分中拉格朗日定理可以推得柯西定理，柯西定理又可推得泰勒公式。當(dāng)我們跨越式地回頭看，又可發(fā)現(xiàn)拉格朗日定理是泰勒公式的特例。這樣關(guān)系的揭示，使得學(xué)習(xí)者對已有的概念不斷更新、改造、組織、整理，形成有序整體，從整體內(nèi)部進行正逆向、交叉、跳躍式的聯(lián)系，從總體中認識局部的、孤立的概念之間的內(nèi)部聯(lián)系，以抓住本質(zhì)屬性。

概念的這一整體式教學(xué)方式，要求教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)采用適當(dāng)?shù)摹⒛馨ㄝ^長期教學(xué)任務(wù)的整體性手段來加強教學(xué)。在知識復(fù)習(xí)中改變知識綜合的過程，調(diào)處“重述知識、強化聯(lián)系”的老模式，使學(xué)生能有一個自己組織和更新理解已有概念的過程。這樣的整體式的教學(xué)方法比題海式訓(xùn)練的效益高，學(xué)生的記憶負擔(dān)也輕。

3.合理借助概念的直觀性。

高等數(shù)學(xué)是在代數(shù)法與幾何法兩者密切結(jié)合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的［３］，具有幾何直觀的優(yōu)勢，我們在概念的引入、形成、理解和應(yīng)用時中應(yīng)當(dāng)合理地借助它的直觀性。這符合我們在上面分析概念形成的兩個心理階段中所提出的要求，無論是選擇和運用的概念意象，還是思維中的具體，都要求將概念直觀化。如流速場中的散度這個概念刻畫的是一個點是否為源，以及源的正負與大小。在電場中，電位移向量的散度表示在一個點是否存在電荷，電荷的正負以及電量的大小，與通量相比較，同量反映的是全局性態(tài)，而散度表示的是一個點處的性態(tài)。好比在一個公司里，通亮相當(dāng)于整個公司的經(jīng)營結(jié)果，而散度相當(dāng)于每個員工的工作結(jié)果。這樣的直觀性的類比使學(xué)生對散度的概念變得很清晰，也為學(xué)生更好地理解高斯公式的物理涵義鋪平了道路。

參考文獻：

[1]張奠宇，唐瑞芬，劉鴻坤.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[2]唐瑞芬，李士錡.數(shù)學(xué)教育評價研究[M].上海：上海教育出版社，1995.

[3]毛京中.高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，(2)：83-86.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”