導數求解的常用方法

摘 要：導數的求解問題在高等數學中是一個重點，也是一個難點。又因為它是后繼某些章節的基礎，所以要想學好這一部分，就應該系統地總結導數求解的方法。常用的求導方法有定義法、公式法、導數的四則運算、復合函數求導、隱函數求導、參數方程求導以及高階導數等。

關鍵詞：函數 求導 方法

導數的求解以及跟導數相關的命題在歷年的考試中，無論是在自學考考還是在成人高考中，所占的比重都相當高。這一部分也是后繼內容如積分問題、微分方程問題、多元函數微積分等問題的必要基礎。因此學好這一部分是取得這門課程高分的關鍵!在以前的教學過程中，我發現很多學生對數學的學習很吃力，關鍵是沒有找到學習這門課程的技巧和方法。在此，我結合教學過程中學生經常出現的問題對導數的求解問題進行詳細的介紹，以便幫助大家取得理想的成績。

現在(主要以2006年成人高考數學一以及2006年4月份全國自學考試高等數學試題為例)就以上的各種方法進行詳細的討論。

一、定義法

任何定義都是解決問題的基礎，導數的定義同樣也是。導數的定義如下：設函數y=f(x)在點x 的某一鄰域內有定義，若自變x在處x 的改變量為Δx（x ≠0，x +Δx仍在該鄰域內）時，相應的函數有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy與Δx之比 當Δx→0時，有極限=存在，則稱這個極限為函數y=f(x)在點x 的導數。并且說，函數y=f(x)在點x 可導，記作f′（x ）。［１］對于導數定義的應用，一般來說，是用來解決如分段函數或者是針對定義的靈活應用上。

以成考試題的選擇題第3題為例，題目如下：

上面的題目就是對定義的考察，在處理這個題目的時候，一定要深刻理解定義的表達，下面從定義著手解答。解答過程如下：

因此正確的選擇項為A。

對于分段函數的求導問題，自學考試的填空題第9題:

[解]首先要求出左、右導數，然后比較二者是否相等。由已知條件知道:

由于左右極限存在但不相等，所以函數在x 處導數不存在。

二、公式法

利用公式法求導相對簡單，因為只要考生能夠熟記大綱中要求的常用求導公式，就能夠很容易得分。這方面的考題在每年都有所體現。如成考選擇題第4題：

曲線y=x 在點（1 ，1）處的切線的斜率為（）。

本題考查的是公式法進行導數的求解，同時還要求大家知道函數y=x 的導函數及其導函數的幾何意義，導函數的幾何意義是：曲線上某一點處切線的斜率。知道這些后這個問題就迎刃而解了。具體的解答過程如下：

k=y′=（x ）′=-3x =-3x ，當x=1時，k=-3×1 =-3。

可以知道答案為C。

同樣的問題在成考填空題第11題中也出現了，題目如下：

設y=x ，則dy=（）。

本題不僅需要大家熟記y=x 的導函數公式，還要知道導數與微分的關系，主要還是要求大家會進行求導。

[解]dy=(x )dx=(2x )dx=2xdx。

從上面的兩個題目可以看出，基礎知識的掌握是很重要的。

三、導數的四則運算

四則運算的運算法則：設u=u(x)與v=v(x)在點x處可導，則：

我們通過下面的例子來熟悉導數的四則運算法則。例題如下：

四、復合函數求導

設y=f(u)，u=g(x)復合成y=f[g(x)]，如果u=g(x)在點x處可導，y=f(u)在相應點u=g(x)也可導，則復合函數y=f[g(x)]在點x處可導，則有下面的求導方法 = · =f′（u）·g′（x）。此方法也可以用于多層復合的情形。

具體的應用請看下面的例題：

（1） 設y=lnsinx，求y′；[成人高考解答題的第22題]

（2） y=ln ；

（3）y=e 。

[解]

（1）設y=lnu，u=sinx，

則由復合函數的求導方法得到： = · ；

又 =(lnu)′= ， =(sinx)′=cosx;

所以 = ·cosx= =tanx。

（2）y′=(ln )′= · = 。

（3） 設y=e ，u=cotv，v=2x，那么函數y=e 可以看作是由y=e ，u=cotv，v=2x復合而成。

因此由復合函數的求導方法可以得到： = · · ；

又 =(e )′=e ， =(cotv)′=-csc v， =(2x)′=2;

所以 =-e ·csc v·2=-2e ·csc 2x。

五、隱函數求導

若已知F（x，y)=0，求y′，一般來說按下列步驟進行求解：

a)若方程F（x，y)=0，能化為y=f(x)的形式，則用前面我們所學的方法進行求導；

b)若方程F（x，y)=0，不能化為y=f(x)的形式，則是方程兩邊對x進行求導，并把y看成x的函數y=f(x)，用復合函數求導法則進行。

下面舉例說明隱函數求導的方法，例題如下：

求方程xy+3x -5y-7=0確定的隱函數y=f(x)的導數。［２］

[解]方程兩端對x求導數，由復合函數的求導法則，有:

解得隱函數的導數為:y′= 。

從上面的例題可以看出，在求解的時候關鍵是弄明白函數的形式，是隱函數還是顯函數，然后采用相應的隱函數求導方法來解決。

六、參數方程求導

無論是成考、自學考試、還是研究生入學考試，參數方程的求導問題一直都是考試的重點。所以要求大家對這一部分引起足夠重視。參數方程求導的方法是：

設y=f(x)是由x=φ(t)y=?準(t)所確定的函數，其中φ(t)、?準(t)是可導的，并且?準′(t)≠0，則： = = 。

以成考第23題為例來說明參數方程求導的重要性。

設x=t y=cost（其中t為參數），求 。

七、高階導數的求解

通常稱二階或者高于二階的導數為高階導數，其求解的過程跟一階的相同，前提是求n階導數時，前n-1階導數存在。方法是在求完一階后，再求二階，以此類推，直到求到滿足要求的階數為止。請看2006年數學一填空題的第12題：

設y=e ，則y″=()。

[解]首先來求函數的一階導數:y′=（e ）′=e ;

再求二階導數:y″=（e ）′=e 。

至此，考試過程中經常出現的求導方法就講完了。我想通過上面的講解，大家對導數的求解問題一定有了新的理解和認識。希望大家學會本質的東西，不能只會表面性的東西。因為只有把知識真正理解掌握了，才能夠觸類旁通，在考試的過程中才能取得好成績。

參考文獻：

[1]侯風波.高等數學.北京：高等教育出版社，2003.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義.北京：高等教育出版社，1960.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”