“旋轉相似”初探

旋轉變換是一種全等變換，對應邊相等、對應角相等；位似變換是一種相似變換，對應邊成比例、對應角相等。在平面內，若先將一個多邊形F以點O為位似中心在點O的同側放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，再將所得多邊形以點O為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度θ，得到多邊形F′，我們稱這種變換為旋轉相似變換，記為O（k，θ）；稱多邊形F與多邊形F′旋轉相似，記為F F′。其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉角。本文就旋轉相似的判定、性質、應用進行探討。

一 、旋轉相似的判定

從旋轉相似的定義出發(fā)，可以得到以下旋轉相似的判定方法：

1.在平面內，如果多邊形F以一點為旋轉中心旋轉變換后得到多邊形Q，多邊形Q以該點為位似中心位似變換后得到多邊形F′，那么多邊形F與多邊形F′旋轉相似.

2.在平面內，如果多邊形F上所有點經(jīng)旋轉相似變換后組成多邊形F′，那么多邊形F與多邊形F′旋轉相似。

推論1：在平面內，如果多邊形F上各頂點經(jīng)旋轉相似變換后順次連接成多邊形F′，那么多邊形F與多邊形F′旋轉相似。

推論2：在平面內，如果多邊形F上各條邊經(jīng)旋轉相似變換后組成多邊形F′，那么多邊形F與多邊形F′旋轉相似。

二、旋轉相似的性質

1.若多邊形F與多邊形F′旋轉相似，則多邊形F′與多邊形F對應邊之比相等，等于相似比；對應角相等。

2.若多邊形F與多邊形F′旋轉相似，則對應點與旋轉相似中心組成的三角形旋轉相似。

推論：若多邊形F與多邊形F′旋轉相似，則多邊形F上與旋轉相似中心距離相等的點與其對應點連線段長相等。

3.若多邊形F與多邊形F′旋轉相似，則多邊形F上任意一條線段所在直線到其對應直線的角等于旋轉角。

4.若多邊形F經(jīng)旋轉相似變換O （k ，θ ）后得到多邊形Q，多邊形Q經(jīng)旋轉相似變換O （k ，θ ）后得到多邊形F′，則多邊形F與多邊形F′旋轉相似，相似比k等于k ·k ，旋轉角θ等于θ +θ 。

三、旋轉相似性質應用

旋轉相似在2007年中考中成為新寵，倍受青睞。下面以2007年中考題為例，談談旋轉相似性質的應用。

例1.（2007長春）如圖1，△AOB中，∠B＝30°，將△AOB繞點O順時針旋轉52°得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點C(A′不在OB上)，則∠A′CO的度數(shù)為（ ）。

A、22° B、52° C、60° D、82°

解：根據(jù)題意可得△A′OB′ △AOB，由性質3可得A′B′到AB的角∠B′O′B等于旋轉角52°。所以∠A′CO=∠B+∠B′O′B =30°+52°=82°。

例2.（2007徐州）如圖2，△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），連接AD′、BE′，設直線BE′與AC、AD′分別交于點O、F。（1）若△ABC為等邊三角形，則 的值為?搖 ?搖，∠AFB的度數(shù)為?搖?搖。（2）若△ABC滿足∠ACB=60°，AC= ，BC= ，求 的值和∠AFB的度數(shù)。

解：由題可知△CD′E′△CAB，由性質2可得△CAD′與△CBE′旋轉相似，由性質1得 = ，由性質3得AD′到BE′的角∠AFB等于旋轉角∠ACB。（1）若△ABC為等邊三角形，則 = =1，∠AFB=∠ACB=60°。（2）若∠ACB=60°，AC= ，BC= ，則 = = = ，∠AFB=∠ACB=60°。

例3.（2007資陽）如圖3，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F。

(1) 求證：BP=DP。

(2) 如圖4，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明。

(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論。

解：（1）直線AC是正方形ABCD對稱軸，由對稱性可知BP=DP。（2）不是。當點P落在BC上時，BP＜BC=DC＜DP。（3）BE=DF。由題可知正方形ABCD與正方形PECF旋轉相似，因為 B、D到點C的距離相等，由性質2的推論可得BE=DF。

例4.（2007南京）在平面內，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應點P′在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度θ，這種經(jīng)過放縮和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為O(k，θ)，其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉角。

（1）填空

①如圖5，將△ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60°，得到△ADE，這個旋轉相似變換記為A（， ）；

②如圖6，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換A( ，90°)，得到△ADE，則線段BD的長為_____cm；

（2）如圖7，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，點O 、O 、O 分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用△AO O 與△ABI、△CIB與△CAO 之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明線段O O 與AO 之間的關系。

總之，運用旋轉相似性質解有關旋轉相似變換題，目標更明確，思路更清晰，過程更簡潔，因而能大大提高解題速度。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”