期權(quán)定價理論的發(fā)展

[摘要] 期權(quán)定價理論是現(xiàn)代金融學的重要組成部分，本文主要介紹了以早期的期權(quán)定價理論、Black-Scholes期權(quán)定價理論及Black-Scholes期權(quán)定價理論的擴展為體系的期權(quán)定價理論的發(fā)展過程。

[關(guān)鍵詞] 期權(quán)定價 股票價格 Black-Scholes模型

近幾十年來金融衍生證券在全球范圍內(nèi)獲得迅猛發(fā)展，期權(quán)問題及投資消費問題越來越引起國內(nèi)外數(shù)學家、金融學家的廣泛重視，要對風險進行有效的管理，就必須對金融衍生證券進行正確的估價，如何確定金融衍生證券的公平價格是它們合理存在與健康發(fā)展的關(guān)鍵。在所有的衍生證券定價中，期權(quán)定價的研究最為廣泛。

一、早期的期權(quán)定價理論

期權(quán)的價格是一種風險價格，長期以來，人們一直在探索著利用各種因素正確評估資產(chǎn)風險的有效方法。

1900年，法國數(shù)學家Louis Bachelier發(fā)表了論文“投機理論”，提出了最早的期權(quán)定價模型，它假設(shè)股票價格是絕對的Brown運動，單位時間方差為σ2，且沒有漂移，則買方期權(quán)的價值為:

二、Black-Scholes期權(quán)定價理論

期權(quán)定價理論的最新革命開始于1973年，Black和Scholes發(fā)表了經(jīng)典論文“期權(quán)定價及公司債務(wù)”，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式;Merton發(fā)表了另一篇論文“期權(quán)的理性定價理論”在若干方面作了重要推廣，使得期權(quán)定價理論取得了突破性的進展。他們在股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)下，運用無套利原則推導出標的資產(chǎn)為不付紅利股票的歐式期權(quán)定價公式:

三、Black-Scholes期權(quán)定價理論的擴展

Black-Scholes模型為投資者提供了適用于股票的任何衍生證券的且計算方便的定價公式，但它的推導和應(yīng)用也受到各種假設(shè)條件的約束，這使它在理論和應(yīng)用上存在缺陷。以Merton為代表的經(jīng)濟學家在此基礎(chǔ)上，對模型進行了研究和推廣。主要有以下的幾個方面:

1.支付已知紅利股票的期權(quán)定價。在期權(quán)定價的過程中，“紅利”被定義為在除權(quán)日由紅利支付引起的股票價格的減少額。Merton考慮了一種以每年同一比率q的股票價格從t時刻的S增加到T時刻的ST，則沒有紅利支付時的股票價格將從t時刻的S增加到T時刻的 或是從t時刻的增加到T時刻的ST。由于支付和不支付紅利的股票價格的最終值都是相同的，所以給予一種價格為S支付連續(xù)紅利率為q的股票的歐式期權(quán)與基于一種價格為不支付紅利的股票的相應(yīng)的歐式期權(quán)有相同的價值。

2.Merton隨機利率模型。Black-Scholes模型假定無風險利率r為常數(shù)且對所有的到期日相同，所以面對現(xiàn)實的變動利率時Black-Scholes模型就需要進行修正。由于利率的波動接近于隨機變動，因此Merton考慮了利率是隨機變量的期權(quán)定價模型。

如果定義B(t)為與期權(quán)同時到期且到期時支付給持有人$1的貼現(xiàn)債券的價值。Merton假設(shè)B(t)遵循以下過程:

變量μB時債券價格的增長率，是隨機變量;σB是B(t)的波動率，假定為時間的已知函數(shù)；dzB是維納過程。Merton得出的歐式看漲期權(quán)的定價公式為:

3.Merton跳躍—擴散模型。前面所有的股票價格都是連續(xù)變動的，但是現(xiàn)實市場股票的價格分布往往不是光滑移動，而呈現(xiàn)間斷的“跳空”過程，于是Merton提出了一種股票價格遵循跳躍過程的模型，在股票的幾何Brown運動之上加了各種跳躍。設(shè)μ為股票的預(yù)期回報，λ為跳躍發(fā)生頻率，k為平均跳躍幅度占股票價格上升幅度的比率。假定跳躍幅度的比例從模型的概率分布中抽取，由跳躍帶來的平均增長率為λk，由此幾何Brown運動提供的預(yù)期增長率為μ－λk。因此，Merton的跳躍過程可以表為:

早期的期權(quán)定價理論的提出，推動了期權(quán)定價理論的發(fā)展，為后來的Black－Scholes模型奠定了基礎(chǔ)。Black-Scholes期權(quán)定價公式是現(xiàn)代金融學的最杰出成就之一，是經(jīng)濟學中唯一一個先于實踐的理論，并在理論和實踐中得到了廣泛的接受，為其它金融衍生證券的定價奠定了基礎(chǔ)，也為其它領(lǐng)域的經(jīng)濟估算鋪平了道路。而以Merton為代表的經(jīng)濟學家對Black-Scholes模型進行了推廣，使其適用于更為廣泛的金融衍生證券和更為寬泛和普遍的經(jīng)濟環(huán)境中。

參考文獻:

[1]張?zhí)諅プg:期權(quán)、期貨和衍生證券．北京：華夏出版社，1997

[2]孫國紅:數(shù)學金融學中的期權(quán)定價問題．天津商學院學報，2003，3：22-25

[3]陳耀輝:公司股權(quán)及債券的期權(quán)定價．荊州師范學院學報(自然科學版)，2002，5:14-16

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”