一道看似簡單的難題

摘要：我們都知道矩形的面積等于長乘以寬，但對于它的證明僅停留在邊長為正整數(shù)的矩形。本文對此做了補(bǔ)充，并給出了邊長為實(shí)數(shù)的矩形面積的完整證明。

關(guān)鍵詞：邊長 矩形面積 乘積

在網(wǎng)上看到有一道清華大學(xué)的招生題：設(shè)一個(gè)矩形長為a，寬為b，面積為S。求證：S=ab。長方形（矩形）面積等于長乘以寬，這個(gè)公式，就好象1+1=2一樣，人盡皆知。但要給出它完整的證明，恐怕就不是那么簡單了。

在小學(xué)，我們介紹矩形面積公式的時(shí)候，先是人為地選一邊長為1的正方形的面積作為一個(gè)面積單位。邊長為10的正方形可將邊長10等分，過分點(diǎn)向邊作平行線，可剖分成10×10個(gè)單位正方形，因此它的面積是100個(gè)單位面積。將長寬分別為3、4的矩形，用同樣的方法剖分成許多個(gè)單位正方形，數(shù)一數(shù)它們的個(gè)數(shù)，正好是3×4=12個(gè)，所以它的面積是12個(gè)單位面積。這樣，如果矩形的長與寬是正整數(shù)a與b，那么，其面積等于a×b。后來，我們把數(shù)的范圍擴(kuò)大到了有理數(shù)、實(shí)數(shù)后，仍沿用著這個(gè)公式，對它進(jìn)一步的證明很少有人問津。

如果矩形的長與寬不是整數(shù)怎么辦？比如，矩形長與寬分別為4.4與3.5，一個(gè)順理成章的辦法就是把面積單位變小，例如，把邊長為0.1的正方形的面積0.01作為單位面積，用上述的方法進(jìn)行分割，得到許多個(gè)小正方形，數(shù)一數(shù)它們的個(gè)數(shù)，正好是44×35個(gè)，所以它的面積為0.01×44×35=4.4×3.5。

對于邊長為有理數(shù)的矩形，我們總可以選擇適當(dāng)小的面積單位，將矩形剖分成整數(shù)個(gè)小單位面積，然后數(shù)一數(shù)，得到面積公式：面積=長×寬。

如果矩形邊長不是有理數(shù)，事情就不是那么好辦了!因?yàn)闊o論將邊長怎么等分，都不可能將其剖分成整數(shù)個(gè)小正方形，可見用上述方法證明矩形的面積公式是有一定的局限性的。我們必須重新尋找一種在實(shí)數(shù)范圍都適用的矩形面積公式的求證方法。

要證明邊長為實(shí)數(shù)的矩形面積，先要有這樣幾個(gè)觀念：第一，矩形面積與邊長相關(guān)，相同的矩形面積相等；第二，衡量矩形的面積，要有一個(gè)單位；第三，矩形的長與寬對換，不影響它的面積；第四，如果將矩形分割成兩個(gè)矩形，原矩形的面積相當(dāng)于兩部分之和。

我們設(shè)矩形邊長為a、b，(a、b是非負(fù)實(shí)數(shù))它的面積是a、b的一個(gè)函數(shù)，記為S（a、b），S（a、b）取非負(fù)實(shí)數(shù)值，并具有下列性質(zhì)：

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。