正方體表面兩點間的距離

摘 要：正方體表面任意兩點的位置有三種情況：一是兩點在同一面上；一是兩點分別在相鄰面上；一是兩點分別在兩對面上。本文著重介紹兩點分別在相鄰面上和兩點分別在兩對面上的正方體表面兩點間距離的求法與其距離的線路畫法以及畫法的證明。

關鍵詞：距離 相鄰面 兩對面

在工程測量中有時要計算正方體表面兩點間的最短距離，并描繪其線路。正方體兩點間的位置關系有三種情況：兩點在正方體的同一面上；兩點分別在正方體的兩相鄰面上；兩點分別在正方體的兩對面上。兩點在同一面上的距離就是它們連線段的長度。下面就另外兩種情況加以分析。

1. 分別在正方體兩相鄰面上的兩點間的距離

設A、B分別是正方體兩相鄰面上的兩點，那么A與B的距離所經線路應該是如圖所示的ACB、ADEB、AFGB三種線路中的一種。

也就是這三種線路中長度最短者是A與B的距離。如果A、B到兩相鄰面的交線KH的距離分別是a、b，到同一側面的距離分別為a′、b′，正方體邊長是l，把正方體展開有三種：（如圖）

那么這三種線路的長度分別為：

對于A與B的距離所經線路的畫法，因為ADEB與AFGB的線路的畫法相似。下面只對ACB和ADEB的畫法作介紹。

1.1 ACB的畫法

過A、B分別作棱EF的垂線AK、BH，垂足分別是K、H，再在A所在的面上取點B′，使B′H⊥HK且B′H=BH，連結AH、B′K相交于Q，過Q作QC⊥HK，垂足為C，連結AC、CB，作法完成。

證明：延長B′H、AC，AC∩B′H=P，

所以PH=BH。而B′H=HB，所以 PH=HB。又HC=HC，

所以Rt△PHC≌Rt△BHC，所以PH=BC。

AP是線段，AP=AC+CB，所以AC+CB是A與B的最短距離。

1.2 ADEB的畫法

由①、②聯立方程組，解得PC=a′，P′C′=b′，

所以RtΔACD≌RtΔPCD，

RtΔBEC′≌RtΔP′EC。

所以P′E=BE、PD=AD。

因為P、D、E、P′成一直線，即PP′為線段。

所以ADEB是A與B的距離。

1.3 實例

有一邊長是4米的正方體的房子（如圖），A點是電源（交流電），要在B點裝一電燈。問沿墻壁裝線至少要電線多長？怎樣安裝？

所以DC≈0.86，所以C點離地面的距離是1.5+0.86=2.36米。安裝時只要沿A-C-B連接即可。

2. 分別在正方體兩對面的兩點間的距離

如果A、B分別是正方體兩對面上的兩點，那么A與B的距離所經線路是如圖（1）中所示的AC (i=1，2，3，4)四種中的一種，即是它們中最短者為A與B的距離。由于這四種線路長度的計算相似，下面只對AC B這種線路進行說明：

設A、B到上底面的距離分別為a、b，到同一側面的距離分別為a′、b′，正方體邊長為l，把正方體的部分展開（如上圖（2））。從圖中可知：

2.2 線路作法的證明

2.3 實例

布通訊線的工人遇到了一個正方體的建筑物，如圖，他需先算出A點沿建筑物表面到B點的線長，并描出布線線路。請你幫忙解決。

解：由A點到B點的三種線路距離分別為：

所以C點到地面的距離為2+4.7=6.7米，

D點到地面的距離為20-1.9-2=16.1米。

布線時只要按圖中的A-C-D-B的線路即可。

參考文獻：

［1］朱德祥.初等幾何研究.高等教育出版社.

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