證明不等式的十種非常規策略

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合。它既是中學數學教學中的難點，也是數學競賽培訓的難點，近年也演變為競賽命題的熱點，因其證明不僅蘊涵了豐富的邏輯推理、非常講究的恒等和不等變形技巧，故學生普遍感到不等式難證、輔導老師也感到難講，這是因為常見和常用的方法常常派不上用場，因此，有必要對不等式的證明方法和技巧進行總結歸納并與大家一起交流，本文試圖就不等式證明中的十種非常規策略，做出比較綜合的歸納。為讀者進一步證明某些不等式提供有效的方法和發現新的數學命題開拓有益的思考途徑。

一、構造模型

構造法是在各類競賽中證明不等式的常用方法。證明不等式時，根據題目的特點巧妙構造函數、方程、復數等。有些不等式可和函數、數列、復數建立直接聯系，通過構造相關模型，利用有關性質完成不等式的證明，使不等式獲得簡捷的證明。

（1）構造函數

顯然|AB|≤d，即要證明的不等式成立（當AB⊥l時，等號成立）。

除此之外，利用構造法來證明不等式，還可以采用構造方程，構造幾何圖形，構造三角函數等方法來證明。構造法是證明不等式的重要方法。

二、優化假設

當題目中變元之間的關系具有多種可能性，且各種可能性具有同等地位或都能用相同的方法去解決時，我們可以借助優化假設來簡化解題過程，尋求解題思路。

三、局部固定

一個不等式往往涉及幾個變量，在證明時可將其中的一個（或幾個）量加以固定，以有助于問題簡化，最終解決問題。

四、借助直觀

有些不等式若單純從“數”的角度去分析證明，則非常繁難，但若數中思形，挖掘出問題蘊含的幾何背景，則可借助直觀，得到簡捷明快的證法。

五、動中求靜

證明某些不等式說，可運用矛盾轉化的觀點，視動態為靜態，把某些變量看作常量，以達到證題的目的。

例7．（第15屆全俄中學生競賽題）已知a，b，c∈(0，1)，求證：a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)＜1。

證：將不等式變形為：（1-a-b）a+(1-c)(b-1)＜0。

把b，c視為變量a的字母常數。令f(a)=(1-b-c)a+(1-c)(b-1)。

由a∈(0，1)，只需證明f(0)＜0，f(1)＜0即可。依條件，f(0)=(1-c)(b-1)＜0，

f(1)=-bc＜0，故所證不等式成立。

六、強化命題

有些不等式若采用強化命題法，即證明一個比原命題強的命題，常能居高臨下、出奇制勝。

只要證出命題（1），就可輕松證得原命題成立。

當n=1時，(1)式顯然成立。

七、特殊探路

對于具有一般性的不等式，若一時難以發現證明思路，常可以從一些簡單的特殊情況分析入手，從中獲得有益的啟示，發現證明的關鍵，從而打開證題思路，獲得證明一般性不等式的方法。

例9 設a，b，c都是正數，求證：an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp，其中n∈N，p，q，r都是非負整數，且p+q+r=n。

三式相加得：

an+bn+cn≥apbqcr+arbpcq+aqbrcp

八、靈活替換

有些不等式的結構比較復雜、陌生，直接證明顯得困難，但若能將不等式中的一些數量用另一些數量來替換，就可轉化為簡單，熟悉的不等式，從中找出證題的思路

九、化整為零

有些不等式，從整體上考慮難以奏效，但如果將待證不等式分解為若干結構相同的不等式，逐一證明后，經過合成運算（相加或相乘）便可得到所要證的不等式。

例11(第17屆全俄中學生數學競賽題)設a，b，c>0，且a+b+c=1，求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）。

以上三式相乘即得：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）。

十、引入參數

有些不等式證明，可以巧妙地引入參數，構造一個參數不等式，使該參數在不等式證明過程中起到橋梁作用。

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