談新高考卷的能力立意與備考策略

概率統計是中學數學新大綱新增的教學內容，在新課程中分為必修和選修兩部分。其中必修包括隨機事件的概率、等可能事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件的概率、獨立重復事件的概率等；在選修部分分為文科、理科兩種要求：文科只含統計內容（抽樣方法、總體分布、總體期望與方差的估計等），理科還包含了離散隨機變量的分布列、期望與方差、正態分布和線形回歸等。這都是這一學科最基本的知識和方法，有較強的實用性。為了在教學中準確地把握教材，有必要對近幾年高考新課程卷概率試題分析研究，從而體會新課程對這部分內容的要求。

一、新課程卷中概率試題解析

1.通過對事件的理解與把握來解決問題

【例1】（2000年第17題）甲乙兩人參加普法知識競賽，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題。（Ⅰ）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

【解析】本題是一個等可能性事件的概率問題。（1）關鍵求出基本事件總數和事件A包含的基本事件數，同時注意到“甲、乙二人依次各抽一題”在解題中的作用，于是可利用排列知識及等可能事件的概率公式加以求解．（2）可用分類法或用間接法，先求對立事件的概率。甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題包含：甲抽到而乙抽不到選擇題、乙抽到而甲抽不到選擇題、甲乙都抽到選擇題；其對立事件是甲乙都抽不到選擇題。

2.通過應用分類討論的思想來解決問題

【例2】（2002年第19題）某單位6個員工借助互聯網開展工作，每個員工上網的概率都是0.5（相互獨立）。（Ⅰ）求至少3人同時上網的概率；（Ⅱ）至少幾人同時上網的概率小于0.3？

【解析】本題主要考查隨機事件的概率的計算及其在實際問題中的應用，側重考查邏輯思維能力。“至少3人同時上網的概率”、“至少幾人同時上網的概率小于0.3”是“在6次獨立重復事件中上網發生K次的概率”的發展，可應用分類討論的思想將問題（Ⅰ）“至少3人同時上網的概率”轉化為恰有3人同時上網、恰有4人同時上網、恰有5人同時上網、恰有6人同時上網的四種類型，再結合相互獨立事件同時發生或互斥事件有一個發生的概率的計算方法加以求解；也可將問題（Ⅰ）轉化為1減去至多2人同時上網的概率。同時問題（Ⅰ）的解決為問題（Ⅱ）的求解做好了鋪墊.我們把r人同時上網的事件記為Ar，則至少3人同時上網的概率。我們把至少r人同時上網的事件記為Br，依次計算后判斷即可。

3.通過合理運用公式來解決問題

【例3】（2001年新課程卷第18題）用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統N1、N2．當元件A、B、C都正常工作時，系統N1正常工作，當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80、0.90、0.90，分別求系統N1、N2正常工作的概率。

【解析】系統N1正常工作的概率由物理串聯知識結合獨立事件的乘法公式即可求得；而系統N2正常工作的概率由“當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統N2正常工作”可知，必須分成三類：一，元件A、B正常工作，元件C不正常工作；二，元件A、C正常工作，元件B不正常工作；三，元件A、B、C都正常工作．在解題時容易遺漏第三種情況，且忘記不正常工作的元件，導致解題錯誤。但若我們合理使用公式，則系統N2正常工作的概率可以看成元件A正常工作，元件B、C都不正常工作的對立事件的概率，從而可以簡化計算過程。

4.運用離散型隨機變量和期望的概念解題

【例4】（2003年理科20題）A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率

A1對B1

A2對B2

A3對B3

現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η。（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ，Eη。

【解析】本題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決問題的能力。關鍵分析出隨機變量ξ、η的可能取值分別為3、2、1、0，以及每個取值所包含的基本事件，運用概念解題。

二、新課程卷概率試題對高考復習的啟示

1.從近4年的試卷可見，幾乎每年均有一個概率解答題和一個小題，高考突出了對新增加的內容的考查，分值在10%左右，考查力度逐步增加，范圍逐步擴大，預計今后高考仍將在概率與統計的基本思想、基本方法和基本運用處命題，考點有可能向離散型隨機變量的期望與方差以及用正態曲線的性質解決簡單實際問題推進，所以在復習中應引起足夠的重視。

2.應充分研究大綱、考試說明，使學生備考做到：（1）7個了解，即了解隨機事件的統計規律性；抽樣方法和樣本平均值、方差的意義；隨機事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互獨立事件；了解離散型隨機變量分布列及其期望與方差的意義。（2）7個會，即會用排列組合基本公式計算等可能事件的概率；會用互斥事件的概率加法公式計算事件的概率；會用獨立事件的概率乘法公式計算事件的概率；會計算事件在獨立重復試驗中恰發生次的概率；會用概率知識求離散型隨機變量的分布列；會根據分布列求離散型隨機變量的期望與方差；會用正態分布規律和性質解決一些簡單問題。

3.應注意培養學生善于從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉化為數學語言的能力，如由“至少”、“恰有”、“至多”一類詞語的含義找出事件A包含的基本事件數，使學生能以數學語言為工具進行數學思維與數學交流。

4.應要求學生平時多關心國家大事，了解信息社會，講究聯系實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，并加強對學生進行偶然性與必然性的對立統一觀點的教育。

總之，新高考卷突出了對新增加的內容的考查，常常從能力立意，突出對考生基本素質和理性思維的檢測，對中學教學和新課程改革有積極的指導意義。