曲線軌跡的四種求法

摘 要：軌跡問題綜合考查了學生的邏輯推理能力、運算能力、分析問題和解決問題的能力，是學生能力學習的重點之一。本文分別對直接法、定義法、代入法、參數法進行了例題分析。

關鍵詞：幾何 曲線 軌跡

解析幾何主要研究兩類問題，一是根據條件確定曲線方程，二是利用方程研究曲線的幾何性質。可見研究軌跡問題的必要性和重要性。軌跡問題綜合考查了學生的邏輯推理能力、運算能力、分析問題和解決問題的能力，所以它也是學生能力學習的重點之一。

一、直接法

如果題目中的條件有明顯的等量關系，或者可以利用平面的知識推出等量關系，求軌跡方程時可用直接法。

例1：過點P（2，4）作互相垂直的直線L 、L ，若L 交x軸于A，L 交y軸于B，求線段AB中點的軌跡方程。

分析：設M(x，y)為所求軌跡上任意一點，利用L ⊥L ，由k k ＝-1，求解。

解：設AB中點為M(x，y)

二、定義法

如果能夠確定動點的軌跡滿足某個已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法。

例2：已知圓(x＋4) ＋y ＝25的圓心為M ，圓(x－4) ＋y ＝1的圓心為M ，一動圓與這兩個圓都外切，求動圓圓心P的軌跡方程。

分析：由兩圓外切可得P點到兩定點的距離差為定值，這與雙曲線的定義相符。

∴動圓圓心P的軌跡是以M 、M 為焦點的雙曲線的右支，

三、代入法

如果軌跡點P(x，y)依賴于另一動點Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲線上，則可先列出x、y、a、b的關系式，利用x、y表示a、b，把a、b代入已知曲線方程便得到動點P的軌跡方程，此法為代入法。

例3：如圖，已知P（4，0）是圓x ＋y ＝36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB＝90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程。

分析：動點Q與AB兩點的變化有關，由矩形的性質知Q與定點P及AB的中點R有關，因此可先求出R點的軌跡方程，再轉化為點Q的軌跡方程。

解：設AB的中點為R(x ，y )，則Rt△ABO中，

所以Q點的軌跡方程為x ＋y ＝56。

四、參數法

如果軌跡動點P(x，y)的坐標之間的關系不易找到，也沒有相關的曲線可用時，可先考慮將x、y用一個或幾個參數表示，消去參數得軌跡方程，此法稱為參數法。

例4：已知拋物線C：y ＝4x，O為坐標原點，動直線 L：y＝k(x＋1)與拋物線C交于A、B兩點，求AB中點的軌跡方程。

分析：中點M (x，y)的橫縱坐標可表示為（ ， ），很容易通過聯立方程組用參數k表示。再消參可解。

解：設中點M坐標為(x，y)，則x＝ ，y＝

注意：求曲線軌跡時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”問題，即考慮求出的曲線軌跡上的點是否都是滿足條件的，這是“純粹性”問題；滿足條件的點是否都在軌跡上，這是“完備性”問題。以上例題中都有涉及，大家在計算時一定要注意。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”