二元函數求極限的方法

摘 要：二元函數的極限是在一元函數的基礎上發展起來的，二者既有聯系也有區別。本文通過部分例題的解析，以詳細介紹二元函數極限的求法。

關鍵詞：二元函數 極限 求法

函數的極限是高等數學中非常重要的內容，一元函數的極限及其求法我們能從各種教材中得到很詳細的說明。二元函數的極限是在一元函數的基礎上發展起來的，二者之間既有聯系也有區別。二元函數的變量個數增加，因而求極限要比一元函數要復雜得多。但現在的教材、參考書對二元函數極限求法不夠詳細，不便于初學者的學習與掌握，所以，現對此問題進行討論。

一、二元函數的極限定義

設有二元函數f(x，y)，如果當點（x，y）以任意方式趨于(x ，y )時，f(x，y)總趨向于一個確定的常數A，那么常數A就稱為二元函數f(x，y)當(x，y）→(x ，y )時的極限。記作

這種方式定義的二元函數的極限又稱為二重極限，在不引起混淆的情況下，也簡稱為極限。

二、二元函數極限的求法

(一)利用初等函數的連續性和極限的四則運算。

二元初等函數在有定義的點處均連續，而在函數的連續點處，根據連續性定義，極限值等于函數值。

例1.

(二) 若事先能看出極限值，可用ε-δ方法進行證明。

(三)利用類似于一元函數求極限的方法。

1.通過分子或分母有理化，把未定式極限轉化為定式極限。

解：分子分母同乘分子2- 的共軛根式，得：

該例求解的思路仍是將xy視為一個變量，通過乘共軛因子變形，約去分子、分母的無窮小因子xy后，問題化為定式問題，從而求出了極限。

2. 利用不等式使用兩邊夾法則。

3. 利用一元函數的重要極限。

7. 指數形式可先求其對數的極限。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>