新課標下數學問題的設計原則

數學家常常這樣看待問題——“問題是數學的心臟”。的確，問題是數學的靈魂，問題是學生思維的中心。巧妙的問題可以誘發學生的好奇心和求知欲，激發學生的興趣，所以課堂上每節內容都應精心恰當地設計有意義的問題。所謂“精心設計”指的是問題設計必須符合一些原則，筆者下面結合自己在數學教學中的一些體會來談談這些原則。

1. 問題要處于學生的“最近發展區”

學生的認知系統與教師的認知系統是不一樣的，因此，教師在進行問題設計時，必須根據每個學生的“最近發展區”進行設計。所謂“最近發展區”理論，是由維果茨基提出的。他認為教師要促進學生的發展，必須在學生現有的認知系統上進行發展，而學生的課堂上的認知系統就成為他們以后逐步提高的“最近發展區”。維果茨基認為，要使設計的問題能達到預設的目的，教師必須能夠設計出切入到學生的認知系統中去的問題。反之，將學生的思路強行與自己的思路進行鏈接，只會使學生對學習產生厭倦和畏難情緒。常有教師抱怨在課堂上無論怎樣引導，學生總是“啟而不發”，關鍵就是因為教師沒有找到回答問題的學生的“最近發展區”。從大量的教學實例中，我們可以看出：不屬于學生“最近發展區”的能力，教師無論怎樣進行提示或啟發，也不能在學生身上培養出來；如果問題接近學生的“最近發展區”的范圍，在教師的幫助和引導下，學生很快就能解答這個問題，并獲得能力的發展。

如在講述分式的值時，可設置這樣的兩題：

（1）已知X=3，求整式X+1和X-1的值。

（2）已知X=3，你會算分式 的值嗎？

設計目的是使學生體會到求分式的值與求整式的值類似，使學生的思維由“未知區”向“最近發展區”過渡，這樣的設計符合學生的認知規律，易于理解與遷移，提高能力。

2. 問題要有一定的現實意義

數學問題不僅包含與數學知識相關的信息，還包括相關的生活背景，它是溝通現實生活與數學學習之間的橋梁。創設與現實生活相聯系的問題情境，會使學生產生一種愉快的學習情緒，更樂于學習。偉大的教育家孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”可見只有讓學生“樂之”，學習效果才會明顯。也只有讓數學和生活緊密聯系起來，數學才會變得活起來，才能激發學生學習和解決問題的興趣。這就需要教師精心創設與生活實際相聯系的問題，引導學生有效地參與教學過程，使學生喜歡數學，使數學課呈現出勃勃生機。例如，在學習線段的垂直平分線定理及其逆定理時，引入這樣一個問題：元旦文藝晚會上，甲、乙兩位同學分別在A、B兩個位置進行搶氣球游戲，當教師把氣球放在直線MN（如圖1）的什么位置時，對甲、乙兩位同學才公平？

學生被這一現實問題深深地吸引，從而積極地探索發現問題。教師通過創設這樣的問題，讓學生感覺到數學就在我們身邊，生活中處處有數學，把數學學習作為一種樂趣、一種享受、一種渴望，從而學到了有用的數學。

3. 問題要具有開放性

開放性問題有條件不完備或答案不確定、層次性、解決策略具有發散性和創新性等特征，能夠讓不同的學生在同一問題上得到不同的發展，使學生樂于參與，主動探索，從而讓每個人都有體驗成功的機會。同時在成功的基礎上，又能去探索更深層次的問題，培養學生良好的思維品質，使學生的認知結構得到有效發展。

例如，學習相似三角形的有關知識后，教師提問：請你用所學的知識測量出學校旗桿的高度（圖片顯示操場上旗桿實景），要求畫出示意圖，并簡單說明測量原理。

上述問題并不具有唯一的正確答案，從而就是一個所謂“開放性問題”，學生在探究中思維產生激烈的沖突碰撞，進而能夠做到取長補短，加深對問題的認識。

4. 問題要具有很強的探索性

一個問題的優劣關鍵是看該問題在實施過程中能否激發起學生的探究愿望，能否讓學生更深入地挖掘出問題深處的內涵，能否促進學生對問題進行重新思考，從而能夠提出新的問題。

例如，“平方差公式”的教學可以設置如下的問題串，以引導學生不斷地進行思考與探索。

（1）計算并觀察下面每組算式

（3）你能舉出一個類似的例子嗎？

（4）從上述過程，你發現了什么規律？你能用語言敘述這個規律嗎？你能用代數式表示這個規律嗎？

（5）你能證明自己所得到的規律嗎？

學生在這些問題的引導下，其探索過程可分為以下三步：

（1）在對具體算式的觀察、比較中，通過合理推理得出猜想。

（2）把所得到的猜想用數學符號（語言）表達出來。

（3）用多項式的乘法法則證明猜想是正確的。

上題中的問題串使學生在問題的探索過程中學會提出問題、分析問題和解決問題的方法。

5. 問題要有層次性

學生首先都是作為具體的、活生生的個體而存在，我們設計問題時必須明確肯定學生認識活動的個體特殊性，這種特殊性不僅表現在已有的知識和經驗的差別，而且也表現在認知風格、學習態度、學習信念及學習動機等各方面的差異。也正是由于這種差異存在，所設計的問題必須要有層次性。所謂層次性指的是問題里面包含各種各樣的小問題，有難、中、淺多個層次，適合各層面學生的需要，從而形成一串問題鏈。淺層的記憶問題可供單純的機械模仿，較深層次的理解性問題可用來掌握和鞏固新知識，最高層次的問題可供用來引導學生知識的遷移和應用。

例如，“多邊形內角和”一課是學生在已經學習了三角形的內角和的基礎上進行新知學習的幾何課。在教學中，可設計這樣的問題：如何利用三角形內角和推導四邊形內角和，如何轉化？五邊形呢？更多邊形呢？對這一問題的研究，不同層次的學生解答方法也各不相同，實現了“不同的人在數學學習中得到不同的發展”。

當然，以上所列舉的各條設計原則不可能在每個問題中都得到充分的體現，而且，從更高的層次去分析，所謂問題的“好”與“壞”事實上也只具有相對意義，即是因人、因時、因地而異。但是不論怎樣，一個好的問題至少應當激勵學生勇于探索，善于思考，有利于促進學生的發展，這是問題設計的不變原則。

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