天體、衛星運動問題處理方法及題型探秘

天體、衛星的實際軌道是橢圓而不是圓，遵循開普勒三定律。在近似計算中認為，行星繞恒星或衛星繞行星運轉的軌道近似為圓。該部分題型多，牽涉到的知識點較廣，綜合性也較強，對其分析總結基本思路及處理方法，對題型進行必要的探秘，能使學生的學習起到事半功倍的效果。

1 基本思路及處理方法

基本思路：1、天體、行星的運動看成是勻速圓周運動；2、萬有引力提供向心力。

處理方法：萬有引力與天體、行星運動的問題涉及的關系較多，例如周期、角速度、質量、密度、重力加速度等。雖然題目千變萬化，但是有一點是相同的，即萬有引力作為向心力。因此有關天體、衛星運動的題目，都可以處理成勻速圓周運動的模型，根據萬有引力等于向心力結合不同的運動學關系式推導即可。

此外在做題時要抓住“題眼”，比如題目要求重力加速度，則自然想到萬有引力等于重力。題目要求行星、衛星的周期，則自然想到萬有引力等于向心力的公式選用含有周期的形式，這樣可以快速找到思路做答。在解答過程中若遇到萬有引力常量G沒有告訴時利用GM=gR2來做常數代換。

2 題型探秘

遇到天體做橢圓運動時求周期、線速度等的定量計算問題，因橢圓運動不滿足萬有引力等于向心力的規律，只能用開普勒定律求解。

題型1 對開普勒行星運動三定律的考查

例1 1970年4月24日我國發射了第一顆人造衛星，其近地點是h1=439km高度，遠地點h2=2384km高度，則近地點與遠地點衛星運動速率之比 =____________(已知R地=6400km，用h1、h2、R地表示，不計算)。

題型2 對萬有引力定律的理解

1、萬有引力公式適用于兩質點間的引力大小的計算。

2、對于可視為質點的物體間的引力的求解也可以利用萬有引力公式，如兩物體距離遠大于物體本身大小時，物體可看作質點；質量分布均勻形狀規則的物體質量可看作集中于物體的重心。

3、當研究物體不能看成質點時，可以把物體假想分割成無數個質點，求出兩個物體上每個質點與另一個物體上所有質點的萬有引力，然后求合力。例如將物體放在地球的球心時，由于物體各方受到相互對稱的萬有引力，故合外力為零，即放在地心的物體受地球的萬有引力為零。

4、應用萬有引力定律求力時，一定要注意物體質量變化時，兩物體間的間距是否也發生變化？

例2 兩大小相同的實心小鐵球緊靠在一起時，它們之間的萬有引力為F。若兩個半徑為實心小鐵球2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為( )

A．2F

B．4F

C．8F

D．16F

解析 小鐵球之間的萬有引力

大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，其質量如下，

兩個大球間的萬有引力為

題型3 萬有引力定律的應用

求解天體的質量，我們只能求中心天體的質量，找一個繞行體，只要知道繞行體的線速度、角速度、周期中的一個量及其軌道半徑，即可求中心天體的質量。

例3 利用下列哪組數據，可計算出地球的質量( )

A．已知地球半徑R和地面的重力加速度g

B．已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和周期T

C．已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度v

D．已知衛星繞地球做勻速圓周運動的線速度v和周期T

解析 選項A：設相對地面靜止的某一物體的質量為m，根據萬有引力等于重力的關系得

GM地mR地2=mg，解得M地=gR地2G

選項B：設衛星的質量為m，根據萬有引力等于向心力的關系得

GM地mr2=mr4π2T2，解得M地=4π2r3GT2

選項C：設衛星的質量為m，根據萬有引力等于向心力的關系得

GM地mr2=mv2r，解得M地=rv2G

選項D：設衛星的質量為m，根據萬有引力等于向心力的關系得

GM地mr2=mr4π2T2

GM地mr2=mv2r

以上兩式消去r解得 M地=v3T2πG

縱上所述，該題的四個選項都是正確的。

題型4 萬有引力定律與拋體運動知識相聯系

在其它星球表面上的拋體運動與在地球上的遵循相同的運動規律，惟一不同的是兩處的重力加速度不一樣。對于萬有引力與拋體運動相結合的題目，關鍵切入點為拋體運動的加速度就是天體表面的重力加速度。

例4 宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的水平距離為3L。已知兩落地點在同一水平面上。該星球的半徑為R，萬有引力常量為G，求該星球的質量M。

解析 如圖所示，設拋出點的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有

x2+h2=L2①

由平拋運動規律可知。當拋出的初速度增大到原來2倍時，則水平射程應增大到2x，可得

(2x)2+h2=(3L)2②

由①②解得： h=33L

設該星球表面的重力加速度為g，由平拋規律可得

題型5 衛星變軌問題

人造衛星在軌道變換時，有衛星主動原因也有其它原因(如受到阻力)，速度發生變化，導致萬有引力與向心力相等關系被破壞，繼而發生向心運動或者離心運動，發生變軌。

例5 某人造衛星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓。由于阻力作用，人造衛星到地的距離從r1慢慢變到r2，Ek1、Ek2分別表示衛星在這兩個軌道上的動能，則( )

A．r1＜r2，Ek1＜Ek2

B．r1＞r2，Ek1＜Ek2

C．r1＜r2，Ek1＞Ek2

D．r1＞r2，Ek1＞Ek2

解析 假設衛星受阻力仍在原軌道上運動，則速度一定減小，那么就會有在原軌道上受到的萬有引力大于向心力而做向心運動使其半徑減小，在向心運動的過程中衛星高度降低，萬有引力做正功使其速度增大(或因r1＞r2，由v=GMr知變軌后衛星速度變大)，動能變大，Ek1＜Ek2。所以選B。

題型6 人造衛星的運行規律

人造衛星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關系

例6 假如一顆做勻速圓周運動的人造衛星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做勻速圓周運動，則( )

A．根據公式v=ωr可知，衛星運動的線速度將增大到原來的2倍

B．根據公式F=mv2r可知，衛星所需的向心力將減小到原來的12

C．根據公式F=GMmr2可知，地球提供的向心力將減小到原來的14

D．根據上述B項和C項給出的公式，可知衛星運動的線速度將減小到原來的22

解析 半徑增大2倍，線速度也隨之增大2倍的結論是在角速度不變的情況下才有的。由

GMmr2=mω2r得ω=GMr3，可知當衛星的軌道半徑增大時，其繞行的角速度將減小，所以不能得出衛星的線速將隨之增大的結論。

由GMmr2=mv2r可得衛星線速度v=GMr，由此式可知，當衛星的軌道半徑增大2倍時，衛星的線速度減小，變為原來的22。所以選項A是錯誤的，選項D是正確的。

由于在衛星半徑變化的同時，衛星的線速度也發生了變化。所以不能直接由F=mv2r得出向心力減小到原來的12這一結論。又因為是地球對衛星的萬有引力提供了衛星所需的向心力，所以由F=GMmr2來判斷向心力的變化比較方便，由此可知向心力將減小到原來的14。所以B選項錯，C選項正確。

題型7 考查宇宙速度

近地衛星的環繞速度v=GMR地=gR地=7.9km/s，通常稱為第一宇宙速度，它是發射衛星所需要的最小速度，是地球周圍所有衛星的最大環繞速度。

例7 關于人造衛星和第一宇宙速度，下列說法正確的是( )

①第一宇宙速度是人造衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度

②第一宇宙速度是發射人造衛星所需的最小速度

③衛星離地面越高，運動速度越大，周期越小

④同一軌道上的人造衛星，質量越大，向心加速度越大

A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

解析 第一宇宙速度是所有地球衛星的最大繞行速度，是最小發射速度。衛星離地面越高，繞行運動速度越小，周期越大，同一軌道上的衛星其向心加速度a=GMr2與衛星質量無關，綜上所述只有A項正確。

總結以上可以看出處理近似圓周運動的天體運動問題，解決關鍵是把萬有引力定律與勻速圓周運動規律有機地結合起來，即GMmr2=mω2r=mv2r=m(2πT)2r，由此演變到各種類型的題目。

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