一道“動量與能量”綜合題的典型錯解分析

題目 如圖所示，A、B兩滑塊的質量均為m，分別穿在光滑的足夠長的水平固定導桿上，兩導桿平行，間距為d。用自然長度也為d的輕彈簧連接兩滑塊。開始時兩滑塊均處于靜止狀態，今給滑塊B一個向右的瞬時沖量I，求以后滑塊A的最大速度。

命題意圖

檢測學生對物體的運動和力的關系，系統的動量和能量守恒等的理解程度，是綜合性較強的試題。

錯解 因B受到向右的瞬時沖量I后，獲得如下：

解法1 速度分解法

向右的瞬時速度vB=Im，之后，A、B系統所受外力之和為零，動量守恒，設A、B達到的共同速度為vAB，由動量守恒定律得

則vAB=12vB=I2m此即為A的最大速度。

錯解分析 以上求解錯在誤將A、B的共同速度當作A的最大速度。其實，AB達共同速度時，彈簧處于伸長量最大的狀態，即彈簧彈性勢能最大時，A的速度還不算最大。此時彈簧的彈力對A來說還是動力，A繼續加速，當彈簧的彈力與輕桿垂直，即彈簧恢復原長時，A的加速度為零，速度才達最大。

A、B通過彈簧而發生的相互作用過程，類似于質量相等的兩個物體發生完全彈性碰撞而交換速度的過程，當B與A交換速度時，B的速度為零，而A的速度為作用前B的速度，即為最大值。

正解 彈簧恢復原長時A的速度達最大，設為vm，設此時B的速度為v′B。由系統動量守恒和機械能守恒定律得

同類題

如圖所示，光滑水平面上的長木板，右端用細繩拴在墻上，左端上部固定一輕質彈簧，質量為m的鐵球以某一初速度(未知)在木板光滑的上表面上向左運動，壓縮彈簧，當鐵球速度減小到初速度的一半時，彈簧的彈性勢能等于E。此時細繩恰好被拉斷，從而木板向左運動。

(1)鐵球的初速度多大?

(2)為使木板獲得的動能最大，木板質量應多大？(v0=8E/3m M=m/4)

提示 繩拉斷前球與彈簧系統機械能守恒，可得球的初速度。繩拉斷后球的速度為零時，木板動能最大(而不是兩者共速時)，由系統動量守恒和能量守恒定律可得。

拓展題1

(93全國卷24題)如圖所示，A、B是位于水平桌面上的兩個質量相等的小木塊，離墻壁的距離分別為L和l，與桌面之間的滑動摩擦系數分別為μA 和μB。今給A以某一初速度，使之從桌面的右端向左運動。假定A、B之間，B與墻之間的碰撞時間都很短，且碰撞中總動能無損失。若要使木塊A最后不從桌面上掉下來，則A的初速度最大不能超過____________。

(4g［μA(L-l)+μBl］)

提示 由于A、B之間，B與墻之間的碰撞時間都很短，且碰撞中總動能無損失，故A與B 相撞將交換速度，B撞墻后原速返回。若B撞A后停下，而A以B的速度滑到桌子右邊剛好停下則A的初速度為最小值。對全過程分析，只有摩擦力做功，由動能定律得A的最小初速度。

拓展題2 如圖所示，一輕質彈簧一端固定，另一端與質量為 m 的小物塊A相連，原來A靜止在光滑水平面上，彈簧沒有形變，質量為m的物塊B在大小為F的水平恒力作用下由C處從靜止開始沿光滑水平面向右運動，在O點與物塊A相碰并一起向右運動(設碰撞時間極短)。運動到D點時，將外力F撤去，已知CO=4S，OD=S，則撤去外力后，根據力學規律和題中提供的信息，你能求得哪些物理量(彈簧的彈性勢能等)的最大值？并求出定量的結果。

(Epm=3FS，vAm=vBm=3FSm )

提示 物塊B在F的作用下，從C運動到O點的過程中，設B到達O點的速度為v0，由動能定理得：

對于A與B在O點的碰撞動量守恒，設碰后的共同速度為v，由動量守恒定律可得：

當A、B一起向右運動停止時，彈簧的彈性勢能最大。設彈性勢能的最大值為Epm，據能量守恒定律可得：

撤去外力后，系統的機械能守恒。根據機械能守恒定律可求得A、B的最大速度為：

vAm=vBm= 3FSm

解這類問題時，應根據試題所給的物理現象涉及的物理概念和規律進行分析，明確題中的物理量是在什么情況下取得極值，或在出現極值時有何物理特征。對系統來說，必須分析清楚一物體的某個量取極值時，相互作用另外物體相應的量取何值，才可用動量和能量守恒定律等解題，否則會引起錯誤。

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