電量關系在電磁感應中的運用例析

電磁感應現象中存在著運動關系和能量轉化關系，是聯系力學和電學的紐帶，在高考試題中常常出現綜合題，通常涉及運動過程分析、穩態速度計算、能量轉化計算、電路分析計算等。本文擬從電量關系的運用例談電磁感應相關綜合題的處理。

例1 如圖1所示，在光滑的水平面上，有一豎直向下的勻強磁場，分布在寬度為l的區域內。現有一邊長為a(其中a＜l)的正方形閉合線框，以垂直于磁場邊界的初速度v0滑過磁場，線框剛好能穿過磁場。則線框在滑進磁場過程中產生的熱量Q1和滑出磁場過程中產生的熱量Q2之比為

A.1 ∶1

B.2∶1

C.3∶1

D.4∶1

解析 線框在進、出磁場的過程中，切割磁感線運動而受到向左的安培力。線框做加速度減小的減速運動，完全進入磁場后做勻速運動，滑出過程線框同樣做加速度減小的減速運動直到剛好滑出磁場。Q1、Q2的產生過程中線框中電流是變化的，因此不能用電流公式直接計算，宜用動能轉化為熱能求解。

要求動能變化就需求線框剛好完全滑進磁場時速度為v，如何求得v呢？線框受到的是變力做變減速運動，運動學公式、動能定理都不能直接應用，該用什么呢？對！動量定理！

設磁場磁感應強度為B，線框電阻為R，剛好完全滑進磁場時速度為v，在此過程中線框因受到安培力產生的平均沖量t=mΔv。線框橫截面通過的電量：△Q=t。

即在線框在滑進磁場過程中：

1t1=m(v0-v)=BaΔQ1，①

在磁場中，△Q=ΔR②

得1t1=m(v0-v)=BaΔR③

在線框在滑出磁場過程中，同樣有：

2t2=mΔv=BaΔQ2=BaΔR④

2t2=m(v-0)=BaΔQ2⑤

聯立③⑤兩式，得：v=v02

所以，在線框完全滑進磁場過程中產生的熱量：

Q1=12mv20－12mv2=38mv20

在線框完全滑出磁場過程中產生的熱量：

Q2=12mv2=18mv20

得Q1Q2=31，應選C項。

通過例1的分析可以看出：磁場中的變加速運動有一個核心物理量Q，它一方面聯系著安培力的沖量，另一方面聯系著導體棒滑過的距離。

例2 如圖2所示，寬度為L足夠長的光滑金屬導軌一端封閉，電阻不計，水平部分在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場中。質量為m、電阻為R的導體棒從高度為h的斜軌上從靜止開始滑下，由于在磁場中受安培力的作用，在水平導軌上滑行距離為s而停下。

(1)求導體棒剛滑到水平面時的速度v0以及在水平導軌上滑行的距離分別為s／4、s／2時的速度v1、v2；

(2)設h=5m，B=1T，L=0.1m，m=0.01kg，R=2Ω，g取10m／s2，寫出導體棒在水平導軌上滑行的速度v與距離x的函數關系，并畫出v－x關系圖。

解析 (1)斜軌上導體棒下滑過程：

mgh=12mv20①

水平導軌上棒滑過s的過程：

-BIlt=0-mv0②

q=It=ΔR=BLsR③

由②③得：B2L2sR=mv0④

當棒在水平導軌上滑行s4時：q1=BLs4R⑤

-Bq1L=mv1-mv0⑥

由①④⑤⑥得v1=34v0=342gh

同理，當棒滑過s2時：

v2=12v0=122gh

(2)由⑤⑥式可得v=v0-B2L2xmR

代入數據得v=10-x2

圖象如圖3所示。

電量關系的運用為電磁感應中求解運動學問題提供了一條重要的通道，它不僅適用于單桿滑動，雙桿問題同樣可以運用。

例3 圖4中兩根足夠長的平行光滑導軌，相距1m水平放置，磁感應強度B=0.4T的勻強磁場豎直向上穿過整個導軌所在的空間。金屬棒ab、cd質量分別為0.1kg和0.2kg，電阻分別為0.4Ω和0.2Ω，并排垂直橫跨在導軌上。若兩棒以相同的初速度3m/s向相反方向分開，不計導軌電阻，求：

(1)金屬棒運動達到穩定后的ab棒的速度大小；

(2)金屬棒運動達到穩定的過程中，回路上釋放出的焦耳熱；

(3)金屬棒運動剛達到穩定，兩棒間距離增加多少？

解析 (1)ab、cd棒組成的系統動量守恒，最終具有共同速度v，以水平向右為正方向，則

mcdv0-mabv0=(mcd+mab)v

所以v=1m/s

(2)根據能量轉化與守恒定律，產生的焦耳熱為:

Q=ΔEK減=(mcd+mab)(v02-v2)/2

=1．2J

(3)對cd棒運用動量定理：

-BIL·Δt= mcd (v-v0)

所以BLq = mcd (v0-v)

又 q =Δ/(R1+R2) = BLΔs/(R1+R2)

所以Δs = mcd (v0-v) (R1+R2)/B2L2

= 1．5 m

綜上所述，電量Q在電磁感應中常常被作為電學與力學的橋梁，由于安培力沖量的特殊性，這類問題處理的方法較特殊，解題時應理解物理規律的適用條件，根據題目的不同特點，弄清其中的物理狀態、物理過程和物理情境，從而采取適當的策略。希讀者注意歸納。下面提供三道習題供參考。

練1 如圖5所示，在光滑的水平面上有兩個方向相反的勻強磁場垂直穿過，磁場的寬度均為L，磁感應強度大小均為B，水平面上放有一正方形金屬線框，其邊長為a(a＜L)，電阻為R。(1)在線框以速度v從磁場區左側勻速向右穿過該磁場區域到達磁場區右側的過程中，求外力所做的功。(2)若線框從磁場區左側以水平向右的某個初速度進入磁場，剛好能從磁場區右側全部出來，求線框在進入磁場和離開磁場的過程中產生的熱量之比。

練2 如圖6所示，空間存在著一個范圍足夠大的豎直向下的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小為B。邊長為l的正方形金屬框abcd(下簡稱方框)放在光滑的水平地面上，其外側套著一個與方框邊長相同的U形金屬框架MNPQ(下簡稱U形框)，U形框與方框之間接觸良好且無摩擦。兩個金屬框每條邊的質量均為m，每條邊的電阻均為r。

(1)將方框固定不動，用力拉動U形框使它以速度v0垂直于N Q邊向右勻速運動，當U形框的MP端滑至方框的最右端時，方框上的bd兩端的電勢差為多大？此時方框的熱功率為多大？

(2)若方框不固定，給U形框垂直NQ邊向右的初速度v0，如果U形框恰好不能與方框分離，則在這一過程中兩框架上產生的總熱量為多少？

(3)若方框不固定，給U形框垂直NQ邊向右的初速度v(v>v0)，U形框最終將與方框分離。如果從U形框和方框不再接觸開始，經過時間t方框最右端和U形框最左端距離為s，求兩金屬框分離后的速度各多大？

練3 如圖7所示，長為L，電阻r=0.3Ω、質量m=0.1kg的金屬棒CD垂直跨擱在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導軌上。兩導軌間距也是L，棒與導軌間接觸良好，導軌電阻不計，導軌左端接有R =0.5Ω的電阻，量程為0 ～3.0A的電流表串接在一條導軌上，量程為0 ～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過平面。現以向右恒定外力F使金屬棒右移，當金屬棒以v =2m/s的速度在導軌平面上勻速滑動時，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，問：

(1)此滿偏的電表是什么表？說明理由。

(2)拉動金屬棒的外力F多大？

(3)此時撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來，最終停止在導軌上，求從撤去外力到金屬棒停止運動的過程中通過電阻R的電量。

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