巧用“動(dòng)態(tài)圓”處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題

處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，一種重要的方法是作圖法:作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到它的圓心，再由平面幾何的知識(shí)列出幾何關(guān)系的方程。而當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的方向可變時(shí)，運(yùn)用作“動(dòng)態(tài)圓”的方法可以較快的解決問題。下面通過幾道例題的分析來說明這種方法的運(yùn)用。

例1 (2005年全國(guó)理綜高考第20題)如圖1所示，在一塊水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。許多質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mvBq。哪個(gè)圖是正確的?

解析 因?yàn)閹щ娏Ｗ拥乃俾史较蚩勺儯运鼈冊(cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是通過O點(diǎn)的一系列圓弧。如圖2所示，陰影部分即為帶電粒子可能出現(xiàn)的區(qū)域。故正確答案為A。

例2 紙面內(nèi)水平線MN的下方存在垂直于紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在MN線上某點(diǎn)O的正下方與O點(diǎn)相距為L(zhǎng)的質(zhì)子源S，可在紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為e、速度為v=BeL/m的質(zhì)子，如圖所示。質(zhì)子的重力不計(jì)。試畫出MN線下方有質(zhì)子出現(xiàn)的區(qū)域。

解析 質(zhì)子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，即:evB=mv2r，所以質(zhì)子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為:r=mveB=meB·eBLm=L。因質(zhì)子源可在紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)發(fā)射，所有軌跡都應(yīng)通過S點(diǎn)，所以這些軌跡圓弧的圓心均在圓周a上。以圓弧a上的一系列點(diǎn)為圓心作出一系列圓弧，這些圓弧與MN的交點(diǎn)離O點(diǎn)最遠(yuǎn)為A點(diǎn)和B點(diǎn)，這些圓弧過S點(diǎn)的直徑的另一端的連線為實(shí)線圓弧AdC，圓弧BcC為另一邊界線.所以質(zhì)子可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖中陰影部分所示。

例3 在真空中半徑r=3cm的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，方向如圖5所示。一帶負(fù)電的粒子以初速度v0=3.0×105m/s，從磁場(chǎng)邊界上直徑的一端a向著各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，且速度方向與磁場(chǎng)方向垂直。已知粒子的比荷q/m=1.0×108C/kg，不計(jì)重力。試畫出粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域。

解析 粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供:qvB=mv2r，所以粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為:r=mvqB=1.5cm。它們的運(yùn)動(dòng)軌跡為過O點(diǎn)的一系列半徑r=1.5cm的圓弧，圓弧acO為最上面的邊界線，將過O點(diǎn)的一系列軌跡圓弧的直徑的另一端連接起來，得到另一條邊界線為圓弧Od。所以粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域?yàn)閳D6中的陰影部分。

另外，以上各題中還可根據(jù)具體條件求出陰影部分的面積。

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