“雙繩”與“雙桿”問題的分析

力學問題中常涉及到“雙繩”與“雙桿”的問題。學生對這類問題普遍感到比較困難。分析其原因，是由于受力分析比較復雜，找不到解決問題的抓手。對于“雙繩”與“雙桿”，往往都是抽象成“輕繩”與“輕桿”模型，它是由各種實際情況中的桿和繩抽象出來的理想物理模型。作為這一模型，一般情況下，“輕”是指其質量可以忽略(相對于其它物體來說)，所受重力可以忽略。桿和繩往往是其形體在同一直線上且其長度是不發生變化的，繩中彈力只能沿繩收縮的方向，桿中的彈力方向比較復雜，由此導致這類模型在運動學和靜力學中都有其特有的規律。本文對“雙桿”和“雙繩”的規律及其應用作一些簡單的分析。

1 雙繩的三類問題

1.1 雙繩的平衡問題

題1 有三根長度皆為l=1.00m不可伸長的絕緣輕線，其中兩根的一端固定在天花板上的O點，另一端分別拴有質量皆為m=1.00×10-2kg的帶電小球A和B，它們的電量分別為-q和+q，q=1.00×10-7C。A、B之間用第三根線連接起來。空間中存在大小為E=1.00×106N/C的勻強電場，場強方向沿水平向右，平衡時A、B球的位置如圖1所示。現將O、B之間的線燒斷，由于有空氣阻力，A、B球最后會達到新的平衡位置。求最后兩球的機械能與電勢能的總和與燒斷前相比改變了多少。(不計兩帶電小球間相互作用的靜電力)

分析與求解

解決此題的關鍵是：A、B球最后達到新的平衡所處的位置在哪兒？

由圖2甲中虛線表示A、B球原來的平衡位置，實線表示燒斷后重新達到平衡的位置，其中α、β分別表示細線OA、AB與豎直方向的夾角。

A球受力如圖2乙所示：重力mg，豎直向下；電場力qE，水平向左；細線OA對A的拉力T1，方向如圖；細線AB對A的拉力T2，方向如圖。由平衡條件

B球受力如圖2丙所示：重力mg，豎直向下；電場力qE，水平向右；細線AB對B的拉力T2，方向如圖。由平衡條件

聯立以上各式并代入數據，得

由上面的過程再進一步分析，如圖3所示，若整體分析A、B球在水平方向的受力，處于平衡狀態時，只有如圖3的位置才會平衡，因此，也同樣得出結論α=0。

與原來位置相比，A球的重力勢能減少了

A球的電勢能增加了

B球的電勢能減少了

兩種勢能總和減少了

代入數據解得

點評 平衡問題的解決，可著眼于整體結構，通盤考慮所有題設條件，挖掘和發現整體結構中問題的關鍵點。整體法在許多情況下能簡化解題過程，快速解決問題。

1.2 雙繩的加速問題

題2 如圖4所示，在一輛靜止的汽車中，用細線懸掛兩小球，當汽車在平直的公路上向左加速行駛時，兩球的位置關系正確的是

分析與求解

對小球A、B進程受力分析，如圖5所示，設小球A的質量為M，設小球B的質量為m，向左運動的加速度大小為a

圖B是正確的。

點評 加速問題的解決，還是先要對物體進行正確的受力分析，列出方程，進行定量分析和討論。

1.3 雙繩的沖擊問題

題3 質量分別為m1、m2和m3的三質點A、B和C，位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸長的柔軟輕繩AB和BC連結，∠ABC＝π-α，α為一銳角，如圖6所示。今有一沖量為I的沖擊力沿BC方向作用于質點C，求質點A開始運動時的速度。

分析與求解 設在外力沖量I作用的瞬間內，AB和BC兩條細繩內出現的張力對其兩端的質點作用的沖量大小分別為I1和I2，又以v表示質點A起動時的速度，顯然v的方向應沿由A指向B的方向，對于質點A則有

點評 在解答物理問題時，往往會遇到兩個或兩個以上物體所組成的比較復雜的相互作用的系統，分析和解答這類問題的關鍵就是如何確定研究的對象。一般采用“隔離法”，就是將研究的對象從系統中隔離出來，對系統中的單個物體或局部進行分析、研究，去尋找已知量和未知量之間的關系。

2 雙桿的三類問題

2.1 雙桿的平衡問題

題4 如圖7所示，兩根光滑輕質彈性桿上端用繩捆扎，下端支于水平面A、B兩點，掛重物后使兩桿變成1/6圓弧，且A、B兩點弧切線垂直水平面，即圓心在AB連線上，平衡時，桿與繩間摩擦因數至少多大？(設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力)

分析與求解 對每一根桿來說，相當于只受兩個力的作用，繩對桿的作用力和地面對桿的作用力，這兩個力必然大小相等，方向相反。如圖乙所示，繩對桿的作用力其實是繩對桿的彈力和摩擦力的合力。可設C點為受力點，如圖甲所示，兩根輕質彈性桿對C點的作用力大小為F，由于兩桿變成1/6圓弧，且A、B兩點弧切線垂直水平面，即圓心在AB連線上，分析可得，平衡時：

點評 此題是一道物理競賽題，題設的物理狀態、物理過程、物理情景干擾因素多，牽涉的知識面寬，綜合性強。并且摩擦因數大于1，正確分析出繩對桿的作用力其實是繩對桿的彈力和摩擦力的合力是關鍵。另外還要知道繩對桿的作用力和地面對桿的作用力，這兩個力必然大小相等，方向相反。最后正確運用平衡知識，導出其函數關系，進行正確的計算。

2.2 雙桿的加速問題

題5 如圖8所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質量均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉動，使桿從水平位置無初速釋放。求當桿轉到豎直位置時， A球和B球的速度vA和vB分別為多少？

分析與求解

設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB。如果把地球、兩個小球、輕桿構成的系統作為研究對象，除重力以外的其他力對系統不做功，則系統的機械能守恒。

若取B的最低點為零重力勢能參考平面，根據機械能守恒定律可得：

點評 此題是雙桿的圓周運動問題，與繩不同的是，A球和B球在各個時刻對應的角速度是相同。當從水平位置無初速釋放擺下后，除重力以外的其他力對系統不做功，故則系統的機械能守恒。但就端點A和端點B固定的小球而言，除重力做功外，其他力對小球也做功，則單個小球的機械能不守恒，這一點特別要注意。

2.3 雙桿的連接問題

題6 如圖9所示，一根均勻細桿AB，上端A處用絞鏈與天花板相連，下端由絞鏈與另一均勻細桿BC相連，兩桿長度相等，且被限制在圖示的豎直平面內運動，不計絞鏈處的摩擦。當在C端施加一個適當的外力(在紙面所表示的豎直平面內)時，可使兩桿平衡在圖示位置處，即兩桿間夾角為90°，且C端處在A點的正下方。試說明：不管兩桿的質量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內？只需要說明道理而不要求計算。

分析與求解 以mAB和mBC分別表示桿AB和BC的質量，則若當mABmBC時，BC桿的質量可以忽略不計，則作用于BC桿C端的外力F必沿由C指向B的方向(即CB方向)。(F不可能沿BC方向，因為若沿BC方向，則AB桿將繞A點順時針方向轉動而不能平衡)

若當mBCmAB時，則AB桿的質量可以忽略不計，故AB桿作用于BC桿的力FA必沿BA方向(FA不能沿AB方向，否則BC桿將繞C點沿順時針方向轉動)，而BC桿的重力GBC作用于BC之中點，GBC與FA的作用線交于AB的中點D，如圖6所示，此時桿BC受三力作用(GBC、FA和作用于C端的外力F)而平衡，由桿BC的平衡條件知，此三力必交匯于一點，故知F應沿CD方向。

以上討論的是兩種臨界情況，由于實際情況應為0＜mAB / mBC＜∞，故滿足題要求的作用于C端處的外力應介于上述兩種臨界情況之間，即作用于C端的外力的方向應在圖10中的∠DCB范圍之內，且這一區間為一開區間。

點評 此題實際上是兩類平衡的結合，題設中“不管兩桿的質量如何”這一條件實際上是質量范圍的討論問題即0＜mAB / mBC＜∞，又應用了平衡中的不平行的三力必交匯于一點的知識，此類習題難度較大，要求較高。它要求學生對物理概念、物理知識、物理定律的掌握與理解不能只停留在知識的表面上，而是要深層次的理解和掌握，搞清知識間內在的聯系和區別，形成較強的物理學科能力。

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