例析高中物理中的典型數學方法的運用

應用數學知識處理物理問題的能力，是高考要求學生必須具備并重點考查的五種基本能力之一。對此《考試大綱》中有明確的闡述，要求學生能根據具體問題列出物理量間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形及函數圖象進行表達、分析，能進行正確的數學運算。近幾年高考中，涉及應用數學方法的問題，既有較為簡單的選擇題。也不乏較為煩瑣、具有一定難度的綜合性計算題。熟練地掌握和應用一些典型的數學方法，對提高物理成績是大有幫助的。在中學物理中常用的數學方法有極值法、幾何法、圖象法、數學歸納法、微元法等。下面結合實例談談這五種典型數學方法在高中物理中的應用，以期對高中物理的平時學習與高三復習效率的提高起到一定的作用。

1 幾何法

常用的有三角形的相似、解直角三角形及一些幾何公理的應用等。

例1 一帶電質點，質量為m電量為q、以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖1中第一象限所示的區域，為了使該質點能從x軸上b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直xOy平面，以磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求這圓形區域的最小半徑。(重力不計)。

解析 質點在磁場中做半徑為R=mv/Bq的圓周運動。根據題意，質點在磁場區域中的軌跡是半徑為R的圓上的一段1/4圓弧。這段圓弧應與入射方向的速度、出射方向的速度相切，過b點作y軸的平行線，則與這兩直線均相距R的O′點就是圓周運動的圓心。質點在磁場區域中的軌道是以O′為圓心、R為半徑的圓(如圖中的虛線圓)上的圓弧 MN，而M、N兩點應在所求的最小圓形磁場區域的邊界上。

在通過M、N兩點的不同的圓周中，最小的一個是以MN的連線為直徑的圓周，所以本題所求的圓形磁場區域的最小半徑為

所求的磁場區域如圖中實線圓所示。

方法指導 本題的解題方法是幾何法。求解過程由兩個部分組成：其一為得出必要的幾何形狀，其二為計算粒子在磁場中的周期公式和半徑公式。解決此類題目的關鍵是利用數學中的幾何知識，即先作幾何圖形然后再利用物理知識求解。通常的解題思路為：(1)畫帶電粒子的運動軌跡；(2)找圓心，由幾何關系求半徑；(3)根據兩圓相交知識，由公共弦求圓的最小半徑。

2 圖象法

圖象法具有簡明、直觀的特點，它既能形象地展示兩個相關物理量間的相互制約關系，又可描述清晰的物理過程。對一些較抽象的物理問題，恰當地引入物理圖象，常可化抽象為形象，便于突破難點、疑點，使解題過程大大簡化，計算快速便捷。在利用圖象解題時，第一要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，另外還要注意圖線的斜率(常表示一個物理量)、截距(常反映-個物理量的臨界值)和圖線與坐標軸圍成的面積(常與某一物理量相對應)等各量表示的物理意義。

例2 螞蟻離開巢沿直線爬行，已知它的速度與巢中心的距離成反比。當螞蟻爬到距巢中心l1＝1m的A點處時，速度是v1＝2cm／s。試問螞蟻從A點爬到距巢中心l2＝2m的B點所需要的時間為多少？

解析 此題中，螞蟻的速度隨時間的變化是非線性的，不能運用勻速運動公式求解。于是，可把螞蟻從A點爬到B點的路程分成許多小段，則通過某一段△li所用的時間為△ti＝△li/vi，式中vi表示螞蟻在該小段△li內的平均速度。因為△li很小，在△li內的平均速度與△li內任一位置的瞬時速度沒有差別。

從△ti＝△li/vi可聯想到作出從A點到B點整個路程上1/v與l之間的關系圖，這個圖象是一條過原點的直線，由圖2可知，直線下面有斜線部分的面積在數值上就等于所求的時間，即：

方法指導 本題巧妙采用1/v-l圖像解答，不僅使它的“面積”能夠表示運動的時間，而且同時把速度與距離成反比(圖線為曲線)轉化為速度的倒數與距離成正比(圖線為直線) 使原來較復雜的運動求解變得很容易。

3 微元法

利用微分思想的分析方法稱為微元法。它是將研究對象(物體或物理過程)進行無限細分，再從中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規律的一種思想方法。

微元法解題的思維程序：

(1)隔離選擇恰當的微元作為研究對象。微元可以是一小段線段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質量或一小段時間……

(2)將微元模型化(如視作點電荷、質點、勻速直線運動、勻速轉動……)，并運用相關的物理規律，求解這個微元與所求物體的關聯。

(3)將一個微元的解答結果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關系、矢量方向關系、近似極限關系等，對各微元的求解結果進行疊加，以求得整體的合理解答。

例3 如圖，長為L，電阻r=0.3Ω，質量m=0.1kg的金屬棒CD垂直放在位于水平面上的兩條平行光滑的金屬導軌上，兩條導軌間距也為L，棒與導軌間接觸良好，導軌電阻不計。導軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程為0～3.0A的電流表串接在一條導軌上，量程為0～3.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過平面。現以向右恒定外力F使金屬棒右移，當金屬棒以v=2m／s的速度在導軌平面上勻速滑動時，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，問：

(1)此滿偏的電表是什么表?說明理由。

(2)拉動金屬棒的外力F多大?

(3)此時撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來，最終停止在導軌上，求從撒去外力到金屬棒停止運動的過程中通過電阻R的電量。

解析 撤去外力F后，棒水平方向只受安培力。安培力的沖量等于棒的動量的變化，即棒的動量的變化是安培力在時間上的積累效應，與此過程相對應的，通過電阻R的電量則是電流在時間上的積累效應。

(1)設電流表滿偏，則I＝3.0A

由歐姆定律得：U＝IR＝1.5V

因U＝1.5V已超出電壓表量程，所以假設不成立，應是電壓表滿偏，即U＝1.0V，此時電流表的讀數I=U/R=2.0V

(2)回路中的感應電動勢

棒勻速運動，外力F＝F安＝BLI

解得：F＝1.6N

(3)將棒的滑動過程分為若干很短的時間，△t時段內可認為棒中電流不變，則通過電阻R的電量為：

解得：Q=mvI/F=0.25C

方法指導 此題采用了微元法。微元法是將那些隨時間或位移變化的物理量的變化過程分成若干個微小過程，而在這些微小過程中，變化的物理量可視為恒定，由此求出其隨時間或位移的積累效應。如變力做功中化“變力”為“恒力”后用W＝FScosα來求解。判定誰是合速度、誰是分速度(取一個很小的Δt考察)、在安培力的作用下通電導線(環)在磁場中的運動情況的判定等都可用微元法來處理。微元法是中學物理中一個處理問題的重要方法，在近年高考考查中頻頻出現。

4 數學歸納法

在解決某些具體問題時，常從特殊情況出發，類推出一般情況下的猜想，然后用數學歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的。

例4 光滑水平面上停放一個木箱和小車，木箱質量為m，小車和人總質量為M，M∶m＝4∶1。人以速度v沿水平方向將木箱推出，木箱被擋板以原速反彈回來以后，人接住木箱再以同樣大小的速度v第二次推出木箱，木箱又被原速反彈……問人最多能推幾次木箱?

解析 選木箱、人和小車組成的系統為研究對象，取向右為正方向。設第n次推出木箱后人與小車的速度為vn，第n次接住后速度為vn′，則由動量守恒定律可知：

第一次推出后有：0＝Mv1-mv

則v1＝mv/M

第一次接住后有：Mv1+mv＝(M+m)v1′

第二次推出后有：(M+m) v1′＝M v2-mv

則v2＝3mv/M

第二次接住后有：Mv2+mv＝(M+m) v2′

……

第n-1次接住：

Mvn-1+mv＝(M+m) vn-1′

第n次推出：(M+m) vn-1′＝Mvn-mv

即vn＝(2n-1) mv/M

設最多能推n次，推出后有

vn≥v，vn-1＜v

即(2n-1) mv/M≥v， 且

［2 (n-1) -1］mv/M＜v

所以2.5≤n＜3.5

因n取整數，故n=3

方法指導 本題的解法首先利用了數學中的數學歸納法寫出了速度的通式，然后結合條件進行討論得出結論。顯然在這時數學歸納法起著舉足輕重的作用。

5 極值法

數學中求極值的方法很多，物理極值問題的討論中常用的極值法有：三角函數極值法、二次函數極值法、一元二次方程的判別式法等。

例5 如圖所示，一個阻值為5Ω的電燈與一最大阻值為10Ω的滑動變阻器串聯后接到電壓為2V的電源上(電源內阻不計)。求：當滑動變阻器接入電路的阻值是多大時，滑動變阻器消耗的功率為最大，其值是多少?

解析 設滑動變阻器消耗的功率為P，連入電路的電阻值為R，則消耗的功率為：

P＝I2R＝［E/(R0+R)］2/R

＝［2/(5+R)］2/R

整理得到一個關于R的一元二次方程：

PR2+(10P一4)R+25P＝0

由于R為實數，所以上述方程中Δ≥0，即

Δ＝(10P一4)2-4P×25P

＝16-80P≥0

解得P≤0.2W，故消耗的最大功率為0.2 W，此時滑動變阻器連入電路的電阻為5Ω。

方法指導 該題的數學方程方法較好，利用了一元二次方程的判別式。

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