光具組的成像問題歸析

各個(gè)光學(xué)元件組成的光學(xué)系統(tǒng)稱為光具組。求解物體通過光具組成像這類問題的總原則是：物體通過前一光學(xué)元件所成的像就是后一光學(xué)元件的物，遇到平面鏡、球面鏡等反射鏡，就考慮光線折回后再成像這一點(diǎn)。具體地說，可有以下幾個(gè)結(jié)論：

1．后一次成像的物距（有正負(fù)）等于前后兩光具的距離（總為正）與前一次成像的像距（有正負(fù)）之差，即un+1=dn-vn。

2．最終成像位置由最后一個(gè)光具所成像的位置決定。vn>0表示最終成像在最后光具沿主軸的正向側(cè)，vn<0表示最終成像在最后光具的反向側(cè)。

3．最終成像的虛實(shí)，由最后一次成像決定，vn>0為實(shí)像，vn<0為虛像。

4．總放大系數(shù)等于各次放大系數(shù)的乘積，即m=m1m2m3…。

5．最后成像正倒的確定：先根據(jù)單次成像時(shí)，實(shí)物成實(shí)像與虛物成虛像為倒立，實(shí)物成虛像與虛物成實(shí)像為正立的原則確定正，倒立的總次數(shù)，再根據(jù)倒立了偶數(shù)次則最終成像正立，倒立了奇數(shù)次則最終成像倒立，確定最終成像的正倒情況。

6．如果各光學(xué)元件之間的距離d=0，那么整個(gè)光具組的總焦距f與各個(gè)光學(xué)元件的焦距f1、f2、f3之間存在如下的關(guān)系：1f=1f1+1f2+1f3+…。我們就可應(yīng)用整個(gè)光具組成像法解決成像問題。

例1一平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射會(huì)聚于透鏡后f=48cm處，透鏡的折射率為n=1.5。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12cm處，求最后所成像的位置。

分析與求解根據(jù)透鏡的焦距公式：

1f=(n-1)(1r1+1r2) ，

而r1=∞，1f=(n-1) 1r2解得凸球面的半徑r2=24cm。

凸面鍍銀后，相當(dāng)于有三個(gè)光學(xué)元件組合成像，即先通過透鏡折射成像，再經(jīng)球面鏡反射成像，最后再經(jīng)透鏡折射成像。

先經(jīng)透鏡成像1f1=1u1+1v1，得：

v1=-16cm。

再經(jīng)凹面鏡成像u2=16cm，

1u2+1v2=1f2=2r2，得v2=48cm。

最后又經(jīng)透鏡成像u3=-48cm，

1f1=1u3+1v3，得v3=24cm。

即最后成像在透鏡前24cm處。

此題還有另外一種解法。由于三個(gè)光學(xué)元件之間的間距為0，設(shè)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的總焦距為f，則有1f=1f1+1f2+1f3，得光具的總焦距為f=8cm。再由成像公式1u+1v=1f，112+1v=18，得v=24cm。

例2在焦距為15cm的會(huì)聚透鏡左方30cm處放一物體，在透鏡右側(cè)放一垂直于主軸的平面鏡，試求平面鏡在什么位置，才能使物體通過此系統(tǒng)所成的像距離透鏡30cm?

分析與求解設(shè)平面鏡與透鏡的距離為d，物距u1=30cm，焦距f1=15cm，

1f=1u1+1v1，得v1=30cm。

由平面鏡成像時(shí)：

u2=(d-30)cm，v2=(30-d)cm。

最后又經(jīng)透鏡成像，

u3=d-v2=(2d-30)cm。

1f1=1u3+1v3解得v3=15(2d-30)2d-45 。

若成實(shí)像v3=30cm，此時(shí)d=30cm。

若成虛像v3=-30cm，此時(shí)d=20cm。

例3設(shè)有兩個(gè)薄凸透鏡O1和O2，其焦距分別為f1=20cm，f2=30cm，兩者共軸，相距d=35cm，在主光軸上透鏡O1左方100cm處垂直于主軸放一長(zhǎng)為4cm的物體，求最終成像的位置、大小和虛實(shí)情況。

分析與求解物體先經(jīng)透鏡O1成像，物距u1=100cm，焦距f1=20cm 。

由1f1=1u1+1v1， 得v1=25cm。

放大率m1=v1u2=0.25。

再經(jīng)透鏡O2成像，u2=(d-25)cm=10cm，焦距f2=30cm。

由1f2=1u2+1v2，得v2=-15cm。

放大率m2=｜v2u2｜=1.5。

最終成像的總放大率m=m1m2=0.375，像長(zhǎng)為1.5cm倒立的虛像，像在透鏡O2左方15cm處。

例4一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上。如圖1所示。

用計(jì)算法求出此像的位置和大小。

分析與求解由于三個(gè)光學(xué)元件之間的間距為0，設(shè)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的總焦距為f總。這三個(gè)光學(xué)元件分別是兩個(gè)透鏡和一個(gè)平面鏡。

根據(jù)1f總=1f1+1f2+1f3。

其中f1=f3=f，f2= ∞。

解得光具組的總焦距f總=f2。

再由成像公式1u+1v=1f總，得v=23f。

總的放大率m=vu=13，像高為物高的13。

（欄目編輯羅琬華）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。