求解三力平衡問題的一種巧妙方法

在求解力的平衡問題時(shí)，我們通常采用合成法和分解法，在有些三力平衡問題中，有時(shí)候采用常規(guī)的方法分析卻很繁瑣，甚至得不出正確結(jié)果，而借助相似三角形的比例關(guān)系求解，往往會使問題變得很簡單，易于求解。

例1光滑的半球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖1示。現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球沿球面由A到B的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至N和繩對小球的拉力F的大小變化情況是(）

A．FN變大，F(xiàn)變小。

B．FN變小，F(xiàn)變大。

C．FN變小，F(xiàn)先變小后變大。

D．FN不變，F(xiàn)變小。

解析以小球?yàn)檠芯繉ο螅涫芰D如圖2所示，由于是緩慢拉繩，可以認(rèn)為小球處處平衡(動平衡)，但小球在從A到B的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至N方向在改變，繩對小球的拉力F的方向也在改變，兩個(gè)力的大小也不知怎樣變化，若采用通常的求解方法，未知量太多，根本無法求解。

我們采用力矢量三角形和線段三角形相似來求解，問題便迎刃而解了。如圖2示：力矢量三角形ACD和線段三角形OAO′相似，則：

mgR+h=FNR=Fl

∴FN=RR+hmg，F(xiàn)=lR+hmg，由于小球在從A到B的過程中，l不斷減小，∴FN不變，F(xiàn)減小，選項(xiàng)D正確。

例2如圖3示，一個(gè)質(zhì)量為m的小圓環(huán)會在一個(gè)豎直放置的半徑為R的光滑大圓環(huán)上，小圓環(huán)由一根勁度系數(shù)為k，自然長度為L(L＜2R)的橡皮繩系著，橡皮繩的另一端固定在大圓環(huán)的最高點(diǎn)，當(dāng)小圓環(huán)靜止時(shí)，橡皮繩與豎直方向的夾角θ多大?

解析以小圓環(huán)為研究對象，其受力圖如圖3所示(作出力矢量三角形BCD)，由力矢量三角形BCD與線段三角形AOB相似：

mgAO=F′2Rcosθ

∴F′=2mgcosθ

又由于F=k#8226;Δx（Δx為橡皮繩伸長量）

Δx=2Rcosθ-L

∴k#8226;(2Rcosθ-L)=2mgcosθ

∴2kRcosθ-kL=2mgcosθ

∴cosθ=kL2(kR-mg)∴θ=arccoskL2(kR-mg)

例3如圖4所示，繩與桿均輕質(zhì)，承受彈力的最大值一定，A端用絞鏈固定，滑輪在A點(diǎn)正上方（滑輪大小及摩擦均忽略），B端吊一重物，現(xiàn)施拉力F，將B緩慢上拉（均未斷），在AB桿達(dá)到豎直前（）

A.繩子越來越容易斷

B.繩子越來越不容易斷

C.AB桿越來越容易斷

D.AB桿越來越不容易斷

解析繩子或桿內(nèi)部的張力越大就越容易斷。桿B端受三力作用而平衡，如圖4所示，這三個(gè)力構(gòu)成矢量三角形CBD，它與線段三角形OAB相似，則：

mgOA=FNAB=F1BO

而AO及AB不變，BO減小，所以：FN=ABOAmg不變，F(xiàn)1=BOOAmg減小，選項(xiàng)B正確。

綜上所述，在求解三力平衡問題時(shí)，在常規(guī)方法都無能為力的情況下，采用兩個(gè)三角形相似的方法，問題便化難為易了。

(欄目編輯趙保鋼)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。