加速度的合成分解與關聯加速度

加速度作為聯系運動和力關系的橋梁，它同物理學中的一切矢量一樣，遵從著矢量運算的平行四邊形定則。加速度的合成與分解在解題中有著廣泛的應用，涉及絕對加速度和相對加速度以及關聯加速度等問題，同樣存在著逆反關系甲對乙=-乙對甲及傳遞關系甲對丙=甲對乙+乙對丙。這是兩個重要的物理量間矢量關系。

1加速度的合成

例1一人站在升降機中以相對升降機的速度V豎直上拋一球，若球不觸及天花板并返回手中的總時間為t，求升降機向上運動的加速度大小。

分析由于升降機具有向上的加速度a，而球出手后只具有向下的加速度g，因此，球相對升降機的加速度為a球對機=g+a向下；又由于球恰好返回手中的瞬間相對升降機位移剛好為零，因此有a+g=2Vt，所以a=2V-gtt。在同一圖中分別做出離手后的球和升降機的速度圖線（圖1，地面參考系，向上為正，V0為球拋出瞬間升降機對地速度，該圖線同樣可以整體向上或向下平移），由于球恰好返回手中體現在圖線上是兩塊陰影部分的面積相等，而從圖線上又可看出，在往返時間之半這一時刻（此時球剛好位于最高點）球與升降機對地速度相等，由V0+a·t2=V0+V-g·t2同樣可解出結果a=2V-gtt。

例2在一個向左勻速行駛的車廂內有一高h的貨架，貨架邊緣有一小球。當車突然以加速度a勻加速行駛時，小球從貨架邊緣脫，若小球下落時未與車廂的后壁相碰，求它的落點與貨架邊緣的水平距離。

分析如果在解題時把示意圖畫成圖2中①的形式那就錯了，這是因為如果以車為參考系，則小球既具有水平向右的加速度a，又具有豎直向下的加速度g，所以小球的合加速度a球對車=a2+g2，又由于球與車無相對初速，因此其運動軌跡應該是一條向后傾斜的直線（圖2中的②）。只有以地面為參考系，球的運動軌跡才是拋物線，但這是一條向左方向的拋物線（圖3）。于是，針對第一種情況有ag=tanθ=ΔSh，所以ΔS=ag·h;針對第二種情況有S車=V0t+12at2，S球=V0t，所以ΔS=S車-S球=12at2=12a·2hg=ag·h，兩種解法的結果完全一致。

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2加速度的分解

例3自動扶梯與水平面間的夾角為37°，當載人的扶梯向上做勻加速運動時，人對扶梯水平底面的壓力大小為其重力的1.25倍，那么，扶梯底面對人的摩擦力大小為人體重的：（）

A.14倍。B.13倍。

C.54倍。D.43倍。

分析作出人隨扶梯向上做勻加速運動時人的受力圖（圖4），并對扶梯加速度進行正交分解后可以看出，在豎直方向上有：N-mg=ma·sin37°;在水平方向上有：f靜=macos37°，當N=54mg時，f靜=14mg·cot37°=13mg，選B。

例4從傾角為θ的斜面項端以初速V0平拋一球，求：球被拋出后經多長時間，球離斜面最遠？這個最遠距離是多少？

分析球拋出后距離斜面最遠的物理條件是球的速度方向與斜面平行（圖5），此時由 。在具體計算小球離斜面的最遠距離時，可將球的初速V0及加速度g分別沿平行斜面方向和垂直斜面方向正交分解，于是球的運動就可以看作沿斜面方向以初速為V0·cosθ，加速度為g·sinθ的勻加速直線運動和垂直斜面方向以初速V0·sinθ，加速度為g·cosθ作“類豎直上拋”運動的合成，此時根據豎直上拋規律必有Hm=（V0·sinθ）22g·cosθ=V20·tanθ·sinθ2g。

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3一條直線上的關聯加速度

例5設小船在無阻力的水面上靜止漂浮，小船的質量為M、長為L。有一質量為m的人以相對船為a的加速度在船板上步行，則船相對于水面的加速度大小為____________。

分析在阻力不計的條件下，由于人對船的作用力和船人的作用力為系統內力，因此，以人的加速度方向為正方向，在絕對參考系中必定有ma人對地=-Ma船對地，根據加速度的傳遞關系及逆反關系，又有：a人對船=a人對地+a地對船=a人對地-a船對地=-Mma船對地-a船對地，

所以a船對地=-mm+Ma人對船，

即船相對于水面的加速度大小等于

例6如圖6所示，一根輕繩跨過裝在天花板下的定滑輪，輕繩的一端連接質量為M的物體，另一端吊著載人的梯子而平衡 ，已知人的質量為m。若滑輪與繩子的質量均不計，繩柔軟且不可伸長。問為使滑輪對天花板的作用力為零，人相對于梯子應怎樣運動？

分析只有跨過定滑輪左右兩側的細繩的拉力均為零，才能使滑輪對天花板的作用力等于零，而如果要求滑輪左側繩的拉力為零，則重物必須以加速度a=g向下做勻加速運動，這就要求滑輪右側人對質量為M-m的梯子施以豎直向上的推力F，于是對于梯子有：

此時對人則為：2（M-m）g+mg=ma(a為人對地的加速度)，

即人必須相對梯子以加速度2Mmg向下做勻加速運動。

4互成一定角度的關聯加速度

例7斜劈A的質量為m1，傾解為θ，此斜劈的一面靠在光滑的墻上，另一面與質量為m2的光滑棱柱B接觸，B可沿光滑水平面滑動，求斜劈A和棱柱B的加速度大小。

分析正確作出物體A、B的受力圖（圖7）

后，不難分別對兩物體寫出它們的動力學方程：m1g-N·sinθ=m1a1，

N·cosθ=m2a2。

以下為了找出兩物體加速度間的關系，必須借助如下的分析：設當A沿Y軸移動的位移為ΔY時，B沿X軸移動的位移為ΔX，由于在ΔX與ΔY之間滿足ΔXΔY=tanθ，因此在A、B兩物體的加速度之間也應該存在著類似的關系（二者運動的時間相等），即a2a1=tanθ，有了這一關聯加速度表達式，便不難通過上述方程組直接給出結果

例8將質量為m的物塊置于傾角為θ、質量為M的木楔的斜面之上，一切接觸面光滑，試證明當作用于木楔右側的水平推力F=（m+M）g·tanθ時，物塊與木楔將保持相對靜止。并分別求出在θ=37°條件下，當推力F1=23（m+M）g·tanθ及F2=43（m+M）g·tanθ時，物塊相對木楔滑動的加速度。

分析在圖8-甲中，當水平推力F=（m+M）g·tanθ，其方向水平向左，這與系統整體共同以加速度a=gtanθ向左做勻加速運動的結論完全一致。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。