一類有關摩擦力習題的錯解剖析
2007-12-31 00:00:00劉贛生黎宗傳
物理教學探討 2007年18期
在牽涉摩擦力的習題中，將會遇到一些新的物理情景。譬如，一個物體與另一個物體的接觸處同時具有兩個不同方向的相對滑動（或相對滑動趨勢）。對于這類習題，有不少學生在分析其摩擦力時甚感困惑，往往出現錯誤解答。下面將通過典型例題對其錯解加以剖析，并給出正確解法。
例題1如圖1所示，質量為m的物塊與水平轉臺之間的最大靜摩擦力為物塊重力的K倍，物塊與轉軸OO′相距為R。物塊隨轉臺由靜止開始加速轉動，當物塊的線速度增加到v時即將在轉臺上滑動，則此時物塊所受摩擦力f的大小和方向的判斷正確的是
A.f=kmg，方向指向圓心
B.f=mv2/R，方向指向圓心
C.f=kmg，方向偏離圓心
D.f=mv2/R，方向偏離圓心
錯解物塊即將在轉臺上滑動還未滑動時，轉臺對物塊的最大靜摩擦力f恰好提供向心力，已知此時物塊做圓周運動的線速度為v，故有f=kmg=mv2/R
f的方向為沿著半徑指向圓心。
由此可知，選項A、B均正確。
剖析上述解答只考慮到物塊沿半徑方向（法向）遠離圓心的運動趨勢，而忽視了物塊沿切線方向的運動趨勢，將題意中轉臺的加速轉動混同為勻速轉動，片面地認為物塊所受的最大靜摩擦力恰好提供向心力，從而錯誤地選擇了A、B兩個選項。
正解物塊即將在轉臺上滑動時，所受的摩擦力f為最大靜摩擦力fm，依題意有
f=fm=kmg
由于物塊隨轉臺由靜止開始加速轉動，在物塊開始滑動之前既有沿法向（半徑方向）遠離圓心的運動趨勢，又有沿切向（圓弧切線方向）滯后運動的趨勢。那么，物塊相對轉臺總的運動趨勢既不沿法向，也不沿切向，而是介于這兩者之間。則物塊所受靜摩擦力（含最大）的方向應與其總的運動趨勢方向相反，這一方向顯然要偏離圓心，如圖2所示。故只有選項C正確。且因這時是由最大靜摩擦力的一個分力提供向心力，故選項D是錯誤的。
例題2如圖3，為傾角θ是30°固定的立體圖斜面。在該斜面上有一重為G的物體P，若用與斜面底邊AB平行的恒力F=G/2推它，恰好能使它做勻速直線運動。則該物體與斜面之間的動摩擦因數為_________。
錯解依平衡條件，斜面對物體P的滑動摩擦力f恰與推力F平衡，有
而物體P與斜面的壓力
則所求的動摩擦因數為
剖析上述解答忽視了對物體P在立體斜面橫向滑動這一新情景下的受力情形進行全面分析，未注意它所受的重力平行斜面向下這一分力產生的效果，從而在應用平衡條件時，片面地認為滑動摩擦力恰好等于推力F，其解答一開始就陷入誤區。
正解依公式f=μFN，要求出動摩擦因數μ，必須先求出滑動摩擦力f和壓力FN的大小。求f大小的方法并非唯一，下面介紹其中一種方法。
物體P共受四個外力，即除受推力F外，還受重力G，斜面的支持力FN（等于壓力）和摩擦力f。將重力G沿平行斜面（與BC平行）和垂直斜面方向正交分解，分別得出分力G1和G2，顯然有G1=Gsin30°G2=Gcos30°
可以認為物體P相對斜面同時參與兩個運動：一個是沿推力F方向的滑動，另一個是沿G1方向的滑動，這兩個運動的合運動方向就是其在斜面上實際運動方向，且這一方向恰為F與G1的合力F′的方向，如圖4所示（圖中的平行四邊形實為矩形）。
合力F′的大小可依勾股定理求出，即
已知物體P沿斜面做勻速運動，依平衡條件，它所受的滑動摩擦力必跟F′方向相反（即跟相對斜面的實際運動方向相反），且大小相等，得
顯然，物體P與斜面的壓力為
例題3一個質量m=15kg的鋼件，架在兩根完全相同的、平行的長直圓柱A、B上（如圖5所示）。鋼件的重心與兩圓柱等距，兩圓柱的軸線在同一水平面內。圓柱半徑r=0.04m，鋼件與圓柱間的動摩擦因數μ=0.20。兩圓柱各繞自身的軸線向內側作方向相反的轉動，其角速度均為ω=10rad/s。若沿平行于圓柱軸線方向施加推力，使鋼件作速度為v0=0.3m/s的勻速運動。試求該推力的大小。設鋼件左右受光滑導槽限制（圖中未畫出），不發生橫向運動。重力加速度取g=10m/s2。
錯解鋼件所受滑動磨擦力的大小為
已知鋼件在沿軸線方向的推力作用下做勻速運動，依平衡條件，該推力F的大小恰等于摩擦力f，即
剖析上述解答忽視了圓柱A、B轉動所產生的磨擦效果，片面地認為每根圓柱對鋼件的磨擦力方向只跟鋼件的軸向速度v0方向相反，從而導致錯誤。
正解因鋼件與圓柱之間有相對滑動，它們之間定將存在滑動摩擦力。先求圓柱A對鋼件的摩擦力fA的大小，易知：
由對稱性可得，圓柱A所受鋼件的壓力為
將②式代入①式，且代入數據得
fA的方向應跟接觸處鋼件相對于圓柱A的合速度方向相反，在接觸處，鋼件相對于圓柱A一方面有沿軸線向前運動的速度v0，取此方向為x軸正方向，即有vx=v0;另一方面因圓柱A向內側轉動，接觸處鋼件相對圓柱A還有沿水平面向外側且垂直于x軸方向的速度v1，顯然v1=rω，取此方向為y軸正方向，即有vy=v1=rω。
代入已知量得
依前所述，磨擦力fA的方向與合速度v的方向相反，即fA與x軸的負方向也成θ角，仍如圖6所示。
fA沿x軸（即沿圓柱A的軸線）的分量為
下面再求圓柱B對鋼件的磨擦力fB，設它沿x軸（即沿圓柱B的軸線）的分量為fBx，同理可得（或由對稱性可知）
依平衡條件，鋼件所受推力F應跟fAx和fBx的合力平衡，則有
將上述所求的fA=15N和θ=53°代入③式，可得推力
以上各例的錯解，主要是對這種新情景下摩擦力的方向含混不清造成的。綜上所述，一個物體在另一個物體的接觸處（存在壓力）同時具有兩個不同方向的相對運動（或相對運動趨勢）時，它所受的滑動摩擦力f的方向就跟這兩個運動的合運動（或合速度）方向相反，其大小仍遵循摩擦定律公式f=μFN；它所受的靜摩擦力fs的方向就跟這兩個運動趨勢的總趨勢方向相反，fs的大小可依題目所提供的條件，用相應的物理規律，如平衡條件等求出（fs若為最大靜摩擦力也可用公式直接計算，但它超出中學物理范圍）。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
