數(shù)形結合，從“方法”到“思想”的飛躍

一、數(shù)形結合，教學論視角的詮釋

數(shù)形結合是我國傳統(tǒng)數(shù)學的基本思想方法之一，在數(shù)學教學歷史中具有舉足輕重的地位。從《九章算術》的“析理以辭，解體用圖”，到現(xiàn)代數(shù)學各分支“交叉滲透，學科整合”，無不體現(xiàn)著數(shù)形結合長盛不衰的魅力。

數(shù)形結合在小學數(shù)學教學中具有得天獨厚的優(yōu)勢。首先，小學數(shù)學教材的編寫將“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”等各領域內容交替呈現(xiàn)，沒有明確的知識鴻溝，這為數(shù)、形互補提供了良好的條件。第二，小學階段是“數(shù)”、“形”思想形成的初期，“算術”、“幾何”尚未形成明確界限，解決問題時，數(shù)與形的連結會更自然和諧。其三，小學生形象思維占主導地位，邏輯思維能力又需要著力培養(yǎng)，數(shù)形結合不僅能揚其長，并能補其短。

心理學研究表明，兒童接受具體性文字中的信息比學習抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具體名詞能產(chǎn)生心理映像（如“湊十法”與“短除法”同是演算規(guī)則名詞，但前者比后者更容易理解與記憶），而兒童利用形象的圖式學習比用純文字推演更有興趣、更容易學習。但另一方面，用數(shù)學符號和專用術語呈現(xiàn)的數(shù)學，由于其嚴謹、清晰、簡約、深刻，更體現(xiàn)著數(shù)學學科在培養(yǎng)兒童的科學精神中的真正優(yōu)勢。

綜上所述，“形”和“數(shù)”是數(shù)學知識表現(xiàn)的兩種形式，“數(shù)”準確而抽象、“形”形象而粗略，各有所長。而數(shù)形結合是一種極富數(shù)學特點的信息轉換方式，這種轉換不僅有助于數(shù)學的多樣化表現(xiàn)，也有利于兒童更好地認識數(shù)學——用數(shù)量的抽象性質來說明形象的事實，同時又用圖形的性質來說明數(shù)量的抽象性質，這正是數(shù)形結合的本質所在。

二、數(shù)形結合，作為數(shù)學方法的表現(xiàn)形式

數(shù)形結合方法的實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數(shù)”指數(shù)學術語、數(shù)學符號、數(shù)學公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學信息的方式。

數(shù)形結合的方法具有雙向性：借助“形”的生動和直觀性認識“數(shù)”，即以“形”為手段，“數(shù)”為目的；或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性，此時，“數(shù)”是手段。

1.以“形”助“數(shù)”。“形”的廣義性以及小學生數(shù)學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數(shù)學知識學習需要“形”的支撐。

（1）數(shù)學概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認識整數(shù)，在等分圖形中認識分（小）數(shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。同樣，運算的概念（如“除法”、“余數(shù)”）、數(shù)學術語（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的參與。

（2）數(shù)學性質的探索依賴“形”的操作。數(shù)學性質是關于規(guī)律性的知識，應該讓學生自主探索發(fā)現(xiàn)，而形的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學“3的倍數(shù)的特征”可作如下設計：讓學生用9根小棒擺出三位數(shù)，判斷是否是3的倍數(shù)；8根、6根呢？操作中學生發(fā)現(xiàn)，組成的三位數(shù)是否是3的倍數(shù)只與小棒的根數(shù)有關，而與擺的方式無關，根數(shù)就是各數(shù)位上數(shù)的和。又如，“分數(shù)的基本性質”、“小數(shù)的性質”可以讓學生在對圖形的等分中理解。

（3）數(shù)學規(guī)則的形成需要“形”作材料。數(shù)學規(guī)則在小學主要是有關演算過程的具體實施方法。規(guī)則學習是學生技能形成的先導。讓學生明確規(guī)則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現(xiàn)過程性目標。而數(shù)形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。如“20以內進位加法”是通過實物操作體會“湊十”的過程；分數(shù)乘法（如1/2×1/5）法則在折紙過程中歸納算法；長方形面積計算方法在“擺（面積單位）→數(shù)（小正方形個數(shù)）→想（個數(shù)與長寬關系）”等過程中獲得。

（4）解題思路的獲得常用“形”來幫助。借助圖形解題的最大優(yōu)勢是將抽象問題形象化。因為將數(shù)量信息反映在圖形上，能直觀表現(xiàn)數(shù)量間關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的文字題、應用題（如“種植株數(shù)”、“截斷”等）時，恰當選用線段圖、示意圖、集合圖等等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

2.以“數(shù)”解“形”。“形”具有形象直觀的優(yōu)勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數(shù)學描述、形式化的數(shù)學模型表達“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學抽象化與形式化的魅力，使兒童更準確地把握“形”。

對圖形的認識要用數(shù)學語言的描述加以深化。如“直線”的教學，由于在生活中無法找到原型，畫出來的也只是線段，而輔之以數(shù)學語言“直”、“無限”、“延伸”等，就能較好地建立相應的表象。又如“長方形”，學生從圖形中感知獲得的只是“長長的”、“方方的”，只有用數(shù)學語言揭示其特征（有4個角，都是直角；有4條邊，對邊相等），對長方形的認識才是深刻的。

幾何圖形的周長、面積、體積計算公式的歸納都是兒童對形體直觀知覺的深化。如對長方形面積大小觀念的建立從定性到定量，從直觀比較到數(shù)方格，從擺小正方形（面積單位）到發(fā)現(xiàn)面積與長寬的關系，最終獲得面積計算公式，使兒童從更深層面上認識了長方形。

對幾何圖形性質的判斷有時需要通過計算才能獲得正確結論。如：“周長相同的三角形、正方形和圓，哪個面積最大？哪個最小？”由于作圖困難，憑圖形直觀難以判斷，而通過具體計算，結論就不辨自明。

三、數(shù)形結合思想的形成途徑

數(shù)形結合在方法論層面，只是一種具有普遍性和可操作性的程式，只有當它成為兒童解決數(shù)學問題的自覺意識時，才上升為“數(shù)學思想”，才成為“方法”的理論基礎。

數(shù)形結合思想形成的前提是讓學生經(jīng)歷應用的歷練，而教師提供時間與空間是“方法”提升為“思想”的保證。

1.教師引領。在數(shù)學思想形成的過程中，教師的榜樣作用至關重要。教師的引領既包括數(shù)形結合方法的示范，也包括教給學生技能和學生創(chuàng)造運用數(shù)形結合思想的機會。教師示范不僅要展現(xiàn)令人信服的結論，更重要的是數(shù)形結合思想如何體現(xiàn)在解決問題全過程中，包括：①數(shù)形結合的思路是如何想到的；②方法是如何運用的；③在比較與反思中體會其優(yōu)勢。

2.群體互動。數(shù)學思想的形成離不開群體間的交往，因為個體的數(shù)學成長需要團體氛圍，需要在與他人交往中獲得肯定。如將自己解決數(shù)學問題的方法與他人的觀點進行對照比較和爭辯，讓多種思維方式交織，個體從中感受到數(shù)形結合解決問題的優(yōu)勢，從而開闊思路、體驗成功。學生在解決數(shù)學問題時都以個體的經(jīng)驗為背景建構對問題的理解，而在此基礎上的同伴交流，使學生看到數(shù)形結合對問題的理解方式、解決模式的不同，思維活動得以彰顯。這不僅使個體的思維過程更清晰，也使群體解決問題的方式更豐富，共同受益。

3.評價導向。由于數(shù)形結合思想常常不是表現(xiàn)為數(shù)學活動的結果，而表現(xiàn)在思維方式與過程中，體現(xiàn)在解決問題中手段的有效性、策略的合理性上，因而難以從兒童顯性的學習行為中覺察。如果能在評價中體現(xiàn)出數(shù)形結合思想的運用，這將是學生學習的直接動力。在評價方式上，應改變單一考查答題結果的做法而輔之以面試、同學互評等，鼓勵學生展示數(shù)形結合的思維過程。在評價內容上，不僅看事實性知識的掌握情況，也應評價其解決過程。對策略與方法優(yōu)劣比較，作相應的聯(lián)想與延伸等的強化與刺激，能很好地促進兒童數(shù)形結合思想的形成。

作者單位

浙江省紹興文理學院上虞分院

◇責任編輯：李瑞龍◇

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