“有余數除法”案例及反思

［背景與問題］

“有余數除法”是人教版課程標準實驗教材三年級上冊的教學內容。筆者在浙江省首屆新生代教師課堂教學展示活動中聽了一位教師執教這一課，對該教師在整堂課中借助小棒搭正方形學習有余數除法，頓覺眼睛一亮。但該課試圖將所有內容整合在一節課中，沒有完成預定的教學目標，致使教學效果打了折扣。由此，筆者考慮：第一，能否從系統的角度出發，將教材中的三個例題進行整合，科學合理地劃分教學課時？第二，怎樣根據學生實際更好地讓學生經歷“數學化”的過程，凸現數學教學的“有效性”？

基于上述考慮，筆者將“有余數的除法”這一教學內容進行了整合，調整了教學課時。現將筆者第一課時的教學及反思陳述于后。

［教學過程描述］（第一課時）

（一）初步感知。

1.搭正方形。

師：（出示小棒）搭一個正方形要用幾根小棒？

（學生回答后，教師在黑板上搭出一個正方形。）

師：8根小棒能搭幾個這樣的正方形？

生：2個。（教師接著搭出2個正方形。）

師：可以怎樣列算式？（板書算式：8÷4=2（個）。）

2.猜測想象。

師：現在老師有一袋小棒，可能搭成幾個這樣的正方形？

生1：我想可以搭5個。

師：那是幾根小棒？

生1：20根，因為每個正方形用4根小棒，5個正方形就是4×5=20（根）。

生2：我猜有40根，可以搭10個正方形。

生3：可能有28根，四七二十八。

師：除了剛好搭成幾個正方形外，還可能出現什么情況？

生1：搭了后，可能多1根。

生2：也有可能多2或3根。

生3：可能多5根。

師：真的嗎？

生：不可能。因為多出來的5根再搭一個正方形后還是多1根。

師：多出來的情況只有1根、2根、3根三種，能確信嗎？怎么來證明？

3.驗證猜想。

師：如果多出來，信封里可能有幾根？你是怎么知道的，能不能畫個圖表示出來？（學生嘗試畫圖后，在投影上反饋。）

生1：我猜是10根，可以畫2個正方形，還多2根，□□ 。

生2：我猜是17根，可以畫4個正方形，還多1根，□□□□|。

生3：我畫了5個正方形零3根□□□□□ ，共有4×5+3=23（根）。

4.引出有余數除法。

師：如果是9根小棒，結果會怎么樣呢？用你喜歡的方式表示出來。

（根據學生回答，教師在黑板上畫出示意圖。）

師：能不能用算式來表示？

學生嘗試寫算式。（展示學生的寫法：4×2+1=9，9÷4=2余1，9÷4=2（個）……1（根））

師：（指著第三個算式）這個除法算式與我們以前學過的有什么不一樣？

生：多了1根。

師：這個“1”叫……

生：余數。

師：這樣的除法叫有余數的除法（板書課題）。這個算式是什么意思？

生1：9根小棒可以搭成2個正方形，還多出1根。

生2：9表示小棒的總數，4表示4根小棒可以搭一個正方形，2表示可以搭2個正方形，1是余數，表示多出來的1根。

教師再指名幾個學生說并示范寫法，指出各部分名稱，讀算式。

（二）理解橫式。

1.嘗試。

師：用10根小棒搭成同樣的正方形，結果會是什么樣？用你喜歡的方式表示出來。有困難的同學可以先畫圖再寫算式。

生：我畫了一個圖，算式是10÷4=2（個）……2（根）

師：怎么證明這個算式是正確的？

生：4×2=8，8+2=10。生2：4×2=8，10-8=2。

師：說說這里的10、4、2、2分別表示什么意思？

生：10表示小棒的總數，4表示4根小棒可以搭一個正方形，2表示可以搭這樣的2個正方形，另一個2是余數，表示多出來2根。

2.再嘗試。

師：如果用11根小棒搭正方形，結果會怎樣？怎樣用算式表示？

生：11÷4=2（個）……3（根）

師：你是怎樣想的？

生：我是這樣想的，4乘2得8，11減8得到3，余數是3。

師：說說每個數字分別表示什么意思？（生答略。）

（三）比較發現。

1.寫算式。

師：用12根、13根、14根、15根小棒搭正方形，結果會怎樣？怎樣用算式表示？先自己選擇其中的一個，再小組合作交流。匯報反饋。

生1：12÷4=3（個）。

師：為什么是3個而不是2個余4根呢？

生1：4根又可以搭一個正方形了。

生2：13÷4=3（個）……1（根）

師：怎么來驗證？

生1：4×3=12，12+1=13。生2：三四十二，13減12等于1，余數是1。

學生回答用14根、15根小棒搭的情況后，教師板書：

14÷4=3（個）……2（根）

15÷4=3（個）……3（根）

2.觀察比較。

師：仔細觀察這些除法算式，聯系搭和畫正方形的過程，你有什么發現？（小組討論。匯報反饋。）

生1：所有除數都是4。

生2：余數分別是1、2、3，1、2、3，有規律地出現。

生3：我發現余數再大也大不過除數。

師：這是個重要的發現，也可以怎么說？

生4：余數都要比除數小。除數要比余數大。

師：為什么呢？

生：余數如果是4，又可以搭一個正方形了，所以余數要比除數4小。

師：只有不夠再搭1個，才能把它余下來。所以余數要比除數小。

3.推想。

師：（出示：21÷4= ，22÷4= ，23÷4= ，24÷4= ）想一想，你能算出來嗎？

（四）鞏固拓展。（略）

［教學反思］

《數學課程標準（實驗稿）》強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”，這一過程即數學化的過程。“數學化”是弗賴登塔爾數學教育思想的核心，他認為，學生的數學活動，與其說是學習數學，不如說是學習“數學化”。所以，數學教學要讓學生經歷“數學化”的過程，即從自己的數學經驗出發，經過獨立思考，概括或發現有關的數學結論，初步形成探索和解決問題的能力。

本課教學中力求充分體現上述理念，讓學生真正經歷“數學化”的學習過程，突出“數學味”，凸現學習的“有效性”。

1.有效學習材料的選取是實現“數學化”的基礎。數學教學是數學思維活動的教學，要實現“數學化”，首先要關注學習材料的有效性。第一，有效的學習材料必須貼近學生的現實生活。從學生生活經驗看，學習新課前，已有分東西的經驗，部分學生已經初步知道有余數的除法。從知識的角度分析，雖然學生具有豎式加法、減法、乘法的經驗，但除法豎式卻截然不同。面對這一現實背景，設計中盡量以學生的認知基礎作為教學的現實起點。第二，有效的學習材料必須有思維含量。學習材料是否具有思維含量，直接影響探索空間和知識的生成過程，影響數學思維的廣度和深度，更影響解決問題的能力。因此，有效的數學學習材料應選擇在學生的“最近發展區”，這樣的材料才有探究價值，才能激發學生的探究欲望。如以“搭正方形”為主線，把3個例題整合成一個統一、連貫的序列，以凸現活動中的數學思考價值。教師只提供給學生小棒，讓學生從借助小棒搭正方形寫算式，畫正方形寫算式，逐步過渡到脫離正方形寫算式，在搭、想、畫的數學活動中理解有余數除法。教師提供的材料極其簡單、平常，但卻具有“數學味”。如：“除了剛好可以搭成幾個正方形外，還可能出現什么情況？”“用12根、13根、14根、15根小棒搭正方形，結果會怎樣？怎樣用算式表示？”這樣的問題情境蘊涵著豐富的數學信息，激勵學生去猜想、實驗、分析及推理。學生在解決問題的過程中，積累數學活動的經驗，調動起各自的思維潛能，促進積極的數學思考，提升數學思維水平。

2.有效學習方式的設計是實現“數學化”的關鍵。有效的數學學習就要讓學生根據自己的體驗，用自己的思維方式自由地開放地去探索、去發現、去“再創造”。教師對學生學習方式的自主化、個性化的設計和引導，是促進“數學化”實現的關鍵。例如：“如果用9根小棒搭正方形，結果會怎么樣呢？用你喜歡的方式表示出來。”這里，由于學生的認知基礎不同，有的采用畫圖的方式，有的用數學表達式4×2+1=9、9÷4=2余1或9÷4=2（個）……1（根）。學生根據自己的知識和體驗，自主表達各自的思維過程，同時又在傾聽和交流中分享別人的學習收獲，提升自己的思維水平。

又如，通過計算讓學生發現余數特點：

9÷4=2（個）……1（根）

10÷4=2（個）……2（根）

11÷4=2（個）……3（根）

12÷4=3（個）

13÷4=3（個）……1（根）

為了讓學生感悟“余數比除數小”的道理，教師引導學生仔細觀察算式，發現規律，并嘗試用語言描述所發現的規律。通過合作交流、思維碰撞，澄清錯誤，形成正確的認識，感受數學表達的簡捷性和內在美。

3.有效教學方式是實現“數學化”的保證。在教學中，教師通過創設問題情境，緊緊圍繞有余數除法概念的建構過程，引導學生在學習過程中運用合理的策略和科學的思維方式，促進學生思維的數學化發展。首先，學生借助小棒由搭正方形的實物操作到畫正方形，再到算式表示的抽象的符號操作，感知有余數除法的意義。表象操作是中介，借助腦中想、畫正方形的表象，實現從具體到抽象的過渡。在此基礎上，把有余數除法的概念形成過程不斷地還原于搭、畫正方形的過程中，深入探索有余數除法的意義。在學生已有知識的基礎上，教師及時引導學生觀察、比較、歸納除法橫式的規律，進而發現“余數比除數小”，掌握余數比除數小的道理。

由此可見，有效的數學教學，是指給學生提供計劃，讓他們真正經歷數學化過程的教學；是給學生提供機會，在一個由已知向未知的解決問題過程中，摸索著嘗試、積累方法的教學；是持續地激發學生的喜好，產生數學學習愿望的教學；是有助于實現課程目標，充滿著現實性和真實感，有自信、責任、求實、勇氣、堅韌、合作、分享和愉悅伴隨的教學。

作者單位

浙江省寧波市唐弢學校

◇責任編輯：李瑞龍◇