例析排列組合問題的１０種類型

用排列組合知識解排列組合應用題，是高中數學教學的一個重點和難點，在高考中出現的幾率很高。排列組合的基本內容是2個原理和2個公式，顯得簡單而抽象，而排列組合應用題形式多樣，變化靈活，過于具體，且解題時似無規律可循。由于接觸題型較少，以及運用數學方法的能力和思維能力比較欠缺，學生解這類題目時，容易出現答案重復或遺漏。本文通過歸納，對10種常見的排列組合問題進行分析并給出了解答。需要說明的是，對一個具體問題，其解法可能不是唯一的，而某幾種解法，其本質上又是相同或相聯系的。

1 特殊元素、位置問題

（1）由0、1、2、3、4、5、6可組成多個無重復數字的六位奇數？

（2）4個人站成1排，甲不站前面，有多少種站法？

分析與解答：對于含有特殊元素、位置的排列問題，一般應先從特殊因素入手，叫“特殊優先法”。（1）題中0不能排首位，2、4、6不能排末位，它們是特殊元素，首位、末位是特殊位置。（1）題先排個位，有P31種，再排十萬位，有P51種，最后排中間4位，有P54種，故共有P31P51P54種。

2 宜用排除法解的問題

（1）同一平面內有9條直線，任何3條不共點，除4條外任何2條不平行，一共可以形成多少個三角形？

（2）6只球，2白2黑，紅藍各1，分別編有不同號碼，將它們放成1排，求同色球不相鄰的放法？

分析與解答：排除法即從方法總數中減去不合要求的方法數，從而得到合要求的方法數。（1）題中9條直線最多可形成C93個三角形，由于4條直線兩兩平行，故4條中任何3條均不形成三角形，應減去C43。此外，4條直線中任何2條與另5條中任何1條邊也不形成三角形，再減去C42C51，故共有C93-C43-C42C51種。

3 元素不相鄰問題

（1）6男4女站1排，求女不相鄰的站法？

（2）由1、2、3、4、5、6、7組成的無重復數字的七位數中，求2、4、6不相鄰且從左到右的順序為4、2、6的個數？

分析與解答：先把可以相鄰的元素排成一排，再在它們的兩端及間隙插入不相鄰的元素，就能得到符合要求的排法，此謂“后插法”。（1）題先將6男排成一排，有P66種，再在兩端及5個間隙中任取4個位置安排4女，有P74種，故共有相P66P74種。

4 元素相鄰問題

8人站成1排，求甲乙相鄰和甲乙間恰有3人的站法有多少？

分析與解答：把相鄰元素“捆綁”在一起，視為1個元素，這種策略稱為“捆綁法”。一問將甲乙“捆綁”視為1個人，與其它6個人作全排列，有P77P22種。二問先從除甲乙外的其余6人中任取3人排在甲乙中間，有P63種，再將此5人“捆綁”與其他3人作全排排列，有P44種，而甲乙自身間有P22種，故共有P63P44P22種。

5 選擇排序問題

（1）從8個人中選出2男1女參加A、B、C三活動的方法數為180種，求8人中男女各幾人？

（2）4男3女分配到9個不同崗位，其中3個崗位只適合男，2個崗位只適合女，另4個崗位男女都適合，求分配方法數？

分析與解答：先選出需要元素或位置，然后排序的方法叫“先選后排法”。（1）題設男x人，先選人，有Cx2 C8-x1種，后安排，有P33種，故Cx2C8-X1P33=180，解得x1=5，x2=6。

6 等角能性問題

（1）5人站1排，求甲站在乙的左邊（可不相鄰）的方法數？

（2）6面外形相同的旗子，2紅2黃，藍綠各1，排成1排表示1個信號，求共可表示多少個信號？

分析與解答：設（1）題的答案數為x，因為編了不同號碼的6面旗的排列數為P66，而x中每1種對應的P66中P22P22種，所以xP22P22=P66，求得x=180。

7 多排與環排問題

（1）8人站成2排，每排4人，求甲乙站前排，丙站后排的方法數？

（2）6人圍1圓桌而坐，求不同坐法？

分析與解答：多排與環排均可視為1排。（1）題設兩排編1-8號，先站甲乙，次站丙，最后站其余5人，共有P42P41P55種。

8 分堆分配問題

6本不同的書，分別按2:2:2，1:2:3，1:1:4的比例，分成3堆，有多少分法？分給3個人有多少分法？分給甲乙丙，甲最少，丙最多，有多少分法？

分析與解答：這些問題看起來相似，但其中有等量與非等量、有序與無序的區別，故答案不相同。假設有編號1-3的3個空盒，當6本書按比例全部裝入盒中時，事件就完成了。在2:2:2的等量分配中，將6本書一次2本地裝入3個盒中，有C62C42C22種，可以認為甲乙丙分別得到1、2、3號盒中的書，這就是分給3個人的方法數。因為3堆是無序的，故AB、CD、EF與CD、EF、AB……是相同的分法，故分成3堆的方法數為C62C42 C22/P33種。在1:2:3的非等量分配中，將書裝入3個盒中的方法數為C61C52C33種，故分成3堆與甲得1本、乙得2本、丙得3本書的方法數均為C61C52C33種，而分給3人還需考慮誰得1本，誰得2本，故有C61C52C33P33種。在1:1:4的分法中，將書裝入盒中的方法數為C61C51C44種，這就是甲得1本、乙得1本、丙得4本書的方法數。由于有2堆均為1本，故A、B、CDEF與B、A、CDEF是相同的分法，故分成3堆的方法數為C61C51C44/P22種，而分給3個人的方法數為C61C51C44P33/P22種。（可以證明將MN件不同物品平均分給N個人的方法數為（MN）！/（M！）N。）

9 相同元素分配問題

（1）將10個相同的氣球分給6個小朋友，每人至少1個，有多少分法？

（2）將N個小球放入M個不同盒中，有多少放法？

分析與解答：將相同元素分成若干份的問題，如將5個球分成3份可構造一個模型，將5球2隔板放成一排，如得到1010000，就得到1種分法——1份0個球、2份1個球、3份4個球，問題就轉化為5球2隔板有多少不同擺法，而不同擺法是由隔板的不同位置決定的，故方法數為C72，這種模型稱為“隔板法”。（1）題將10個氣球排成1排，然后在9個空隙插入5塊隔板，所以有C95種。另一思路為：先給每人發1個氣球有1種方法，再將剩余的4個氣球分給6個人，有C4+6-16-1=C95種。與此題相同的另1個問題是：x1+x2+……x6=10，有多少組正整數解？

10 不同元素分配問題

（1）3個不同小球放入5個不同盒中，每盒最多1球，有多少方法？

（2）4個不同小球放入3個不同盒中，有多少放法？

分析與解答：不同元素分配問題由于條件各不相同，解題時應區別對待。（1）題是選排列，有P53種。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”