從本質上來理解“除”與“除以”的含義

最近讀了《小學教學參考》(數學版)第6期刊登的《“除”與“除以”之我見》一文，覺得張維寧老師說的“應該把‘除’與‘除以’兩個概念統一起來”，我實不在敢茍同。

“除”與“除以”既有聯系又有區別。確實，學生對這兩個概念很容易混淆，雖經過老師多次強調、反復操練，但錯誤仍有不同程度的出現。我詢問了很多教師對此問題的處理，一般都是讓學生經過反復地讀、說、寫、練，把錯誤率降到最低程度。其宴，這是沒有從本質上來理解“除”與“除以”的含義。下面，談談我對“除”與“除以”的理解。

一、理解“除”的含義

《現代漢語詞典》中對“除”的一種解釋是：用一個數把另一個數分成若干等份叫除，例如用二除六得三。我國古代數學論著中，也都是用“除”表示這個含義。如《九章算術》第一章“方田”中有例：

1 今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何?答日：一畝。

2 又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何?答日：一百六十八步。

方田術日：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。

意思是，在田畝的計算中，15步×16步=240(步×積步)，即為一畝，然后用240除男一塊田的積步數，即為畝數。用現在的話說，240是除法中的除數，是把另一塊田的積步數等分的份數。查閱其他古代數學論著，在講除法中均用到的是“除”而沒有用到“除以”。看來，除法中用“除”表示，有著其悠久的歷史。

二、理解“除以”的含義

首先，何為“以”?這需要從我國古代漢語的角度來理解。古代漢語中，“以”作為一個介詞，它的用法比較復雜，最常見的用法是表示動作行為以某物為工具或憑借，相當于現代漢語中的“用”或“拿”，如“以毒攻毒”、“以子之矛，攻子之盾”等。但“以”的用法有一點值得注意，就是它在句中的位置，可以用在謂語動詞之前，也可以用在謂語動詞之后。如《荀子·勸學》中，“以羽為巢，而編之以發”，這兩個“以”字的位置就不同。 在現代漢語中，把“以”用在謂語動詞之后的也很常見，如“繩之以法”、“動之以情，曉之以理”等。而現代數學的除法中用“除以”來表示，正是沿用了這種方式。如6÷2可表示為“6除以2”，意為“用”或“拿”2除6，即把6分成2等份，“以”是放在了謂語動詞“除”之后的。

三、為什么同時使用兩種表示法?

我認為，用“除”表示除法乃我國古代數學家創造之本意，此方法不可放棄。但隨著祖國語言文字的發展，讀寫順序從古代的“從右到左”發展為現在的“從左到右”，為了符合讀寫順序，使讀寫方便，現代數學中除法也用“除以”來表示了，就是“用……除”的意思，所以就有了兩種方法并存的現象。

至于張維寧老師所說，應該把兩個概念統一起來，我認為不可。這跟“乘”與“乘以”不同，如“2×3”，不管是“2×3”或“3×2”，其結果一樣，而且意義也可以轉化。但“6÷2”這個式子，它表示的意義和結果是唯一的，只能是“2除6”，把“6分成2等份”，不能表示成“6除2”，否則將會造成數學概念的混亂，使學生更加模糊。

所以，學生對這兩個概念的理解，教師要“曉之以理”，至少我們教師必須理解它們的基本含義和本質上的區別。