猜想驗證思想方法在小學數(shù)學教學中的滲透

猜想驗證是一種重要的數(shù)學思想方法，正如荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數(shù)學家常常憑借數(shù)學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”因此，小學數(shù)學教學中，教師要重視猜想驗證思想方法的滲透，以增強學生主動探索和獲取數(shù)學知識的能力，促進學生創(chuàng)新能力的發(fā)展。那么，教學中如何滲透猜想驗證的思想方法呢?現(xiàn)舉例說明如下：

課例1：“長方形面積計算公式”教學片斷

1.操作感知。

多媒體演示：長方形平面圖由圖①逐漸變成圖②(長方形的寬不變，長擴大)；圖①逐漸變成圖③(長方形的長不變，寬擴大)；由圖①逐漸變成圖④(長方形的長擴大，寬也擴大)。

學生觀察思考：(1)長方形的面積發(fā)生了什么變化?(2)從演示中，你覺得長方形的面積與它的什么有關?

初步感知：長方形的面積與它的長和寬有關。

學生拿出課前準備好的24張l平方厘米的正方形紙片，教師提供實驗記錄表格如下(每人一張)：

讓學生用這24張紙片拼成盡可能多的長方形，拼好后逐一按長、寬、面積等數(shù)據(jù)填在記錄表格中。

2.提出假設。

引導學生觀察表格中的數(shù)據(jù)，獨立思考：(1)這些圖形的長和寬各是多少厘米?(2)這些圖形的面積是多少平方厘米?(3)你發(fā)現(xiàn)每個圖形的長、寬和面積之間有什么關系?

交流討論，形成初步猜想：長方形的面積=長×寬。

3.驗證規(guī)律。

教師適時引導：是不是所有長方形的面積都可以用“長×寬”來計算呢?能舉例驗證你們的發(fā)現(xiàn)是正確的嗎?要想知道得出的結(jié)論是否正確，可以用什么方法來驗證?(算一算，擺一擺)

出示一個長5厘米、寬3厘米的長方形，讓學生運用猜測的方法算一算，再用1平方厘米的小正方形擺一擺，看看面積是多少，結(jié)果是否相符。

學生分小組各舉一例再次驗證。

4.歸納結(jié)論。

學生互相交流討論長方形的面積計算公式，然后概括出公式：長方形面積=長×寬。

思考：在面積計算公式中，“長×寬”實際上表示的是什么?

學生畫出拼擺的長方形平面圖，并隱去面積單位，想像長方形每排有幾個面積單位，有幾排，然后說說一共有多少個面積單位。

課例2：“比的基本性質(zhì)”教學片斷

1.創(chuàng)境感知。

(1)回憶除法的商不變性質(zhì)和分數(shù)的基本性質(zhì)。

(2)說說比與除法、分數(shù)的關系。

(3)求出3∶4、6∶8、9∶12三個比的比值，得出3∶4=6∶8=9∶12。

學生觀察、分析“3∶4=6∶8=9∶12”前項、后項的變化，得出：比的前項、后項同時乘2或3，比值不變；比的前項、后項同時除以2或3，比值不變。

2.提出假設。

引導學生思考：根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，聯(lián)系分數(shù)的基本性質(zhì)和除法的商不變性質(zhì)，想一想：兩個比值相等的比之間有怎樣的性質(zhì)和規(guī)律?

學生交流匯報，形成猜想：比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數(shù)，比值不變。

3.驗證規(guī)律。

師：是不是所有的比都有這樣的變化規(guī)律?你能想辦法驗證嗎?(學生驗證后，交流各自的想法)

生1：我根據(jù)比與除法、分數(shù)的關系，認為比應該有類似的性質(zhì)。

生2：我把比寫成分數(shù)的形式，根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)比確實有這一規(guī)律。

生3：我應用剛才的猜想舉例，然后求出兩個比的比值，發(fā)現(xiàn)猜想是正確的。

生4：我將比寫成除法的形式，根據(jù)除法的商不變性質(zhì)推導出比確實有這樣的性質(zhì)。

……

4.歸納結(jié)論。

師提問：誰能用一句話概括出比的基本性質(zhì)?“相同的數(shù)”是不是什么數(shù)都可以?為什么?

然后師生共同歸納出比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。最后讓學生舉例說明這個性質(zhì)。

上述兩個課例中，學生通過感知——假設——驗證——歸納，經(jīng)歷知識的形成過程，不僅獲得了數(shù)學結(jié)論，更重要的是逐步學會了獲得數(shù)學結(jié)論的思想方法——猜想驗證，提高了主動探索、獲取知識的能力，增強了學好數(shù)學的信心。

一、感知——播撒思想方法的種子

感知是個體認識的開始，沒有正確的感知就不可能認識事物的本質(zhì)和規(guī)律。心理學研究表明：學生感知越豐富，建立的表象越清晰，就越能發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得知識。因此，教學中要給學生提供充足的能揭示規(guī)律的感性材料，引導學生動手做、動腦想、動口說、動眼看，使學生在做一做、算一算、想一想、說一說、看一看中獲得豐富的感性認識，建立清晰的表象，搭建起知識結(jié)構物化與內(nèi)化的橋梁，促使學生形成初步的猜想。

如教學“三角形的內(nèi)角和”一課時，可設計以下幾個環(huán)節(jié)：

1.學生隨意畫三個不同的三角形(銳角、直角、鈍角三角形各一個)。

2.學生測量所畫三角形每個內(nèi)角的度數(shù)，并填入表中。

3.學生報出自己所畫三角形內(nèi)角的度數(shù)和，然后讓學生猜一猜三角形三個內(nèi)角度數(shù)的和大概是多少度。

這樣，通過畫、量、填、算、說，學生初步感知了三角形的內(nèi)角和。至此，猜想三角形內(nèi)角和已是水到渠成。

二、假設——展開猜測思想方法的翅膀

假設就是對所感知的事物做出初步的未經(jīng)證實的判斷，它是學生獲取數(shù)學知識過程中的重要環(huán)節(jié)。波利亞曾說過：“一個孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己與該題連在一起，會急切地想知道自己的猜想正確與否。于是，便主動地關心這道題，關心課堂上的進展。”因此，在學生大量感知且形成豐富的表象后，教師要給予學生充足的時間和空間，讓學生根據(jù)自己的感知，用自己的思維方式自由地觀察思考、分析推理，逐步從感性認識上升到理性認識，然后相互交流討論，形成合理的假設。

如教學“分數(shù)化有限小數(shù)”一課時，先提供一組分數(shù)，像 等，讓學生算一算、看一看、想一想，然后猜測：一個分數(shù)能否化成有限小數(shù)，與這個分數(shù)的哪部分有關?可能有怎樣的關系?這樣，經(jīng)過一番或?qū)蝈e的猜測后，學生形成共識：一個分數(shù)，如果分母中只含有質(zhì)因數(shù)2和5，那么這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)。但這種共識還只是一種假設，不能作為最后結(jié)論拿來應用，必須進行驗證，以檢驗假設是否具有普遍性。

三、驗證——把握思想方法的方向

小學數(shù)學一般不要求作嚴格論證。因此，對于學生的假設是否具有普遍性，可從學生已有的生活經(jīng)驗和思維水平入手，提供足夠的探索時空，讓學生進行獨立的、小組合作式的探索活動，親身經(jīng)歷嘗試、探索、驗證的過程，從而獲得驗證所學知識的能力。

如“三角形的內(nèi)角和”的教學，在學生提出初步的猜想后，可引導學生在操作中探索驗證。1.折一折：根據(jù)書中實驗，分別折疊出三種不同的三角形，得到三角形的內(nèi)角和是180°。2.拼一拼：分別把每種三角形的三個角剪下來，拼在一起成為一個平角，得到三角形的內(nèi)角和是180°。3.算一算：把正方形的紙片沿對角線分成兩個完全相同的三角形，由正方形4個角是90°×4=360°，推算出其中一個三角形的內(nèi)角和是180°。

值得注意的是：當學生猜想出現(xiàn)錯誤時，教師不要立即給予否定或提醒，而應適時引導學生舉例驗證，必要時教師可舉出反例，讓學生在驗證中發(fā)現(xiàn)猜想錯誤，進而調(diào)整思考方向，重新提出假設。

四、歸納——收獲思想方法的果實

驗證之后，教師要不失時機地引導學生說一說、議一議，相互交流，達成共識。在此基礎上，讓學生理一理，準確地歸納概括出知識結(jié)論。歸納時，要引導學生深刻立理解結(jié)論的普遍性和結(jié)論中的每一句話。如歸納“比的基本性質(zhì)”時，讓學生思考討論：“相同的數(shù)”是不是什么數(shù)都可以?為什么?在學生準確概括出比的基本性質(zhì)后，再讓學生舉例說明這個性質(zhì)，然后引導學生應用這個性質(zhì)。這樣，不但加深了學生對知識的理解，進一步鞏固和掌握知識，而且培養(yǎng)了學生解決實際問題的能力。

牛頓說過：“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”布魯納也認為：“學習者在一定的問題情境中，對學習材料的親身體驗和發(fā)現(xiàn)的過程，才是學習者最有價值的東西。”實踐證明，在教學中重視猜想驗證思想方法的滲透，有利于學生迅速發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，獲得探索知識的線索和方法。這樣，無疑會讓學生在心理上產(chǎn)生一種極大的滿足感，增強學好數(shù)學的信心，激發(fā)了學習的主動性和參與性，從而更好地發(fā)展創(chuàng)造性思維，提高學生自主學習與分析解決問題的能力。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。